一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是(　　)

A．0.146 2 B．0.153 8 C．0.996 2 D．0.853 8

2．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

1

3

5



P

0.5

m

0.2



则其数学期望E(ξ)等于(　)

A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4

3．已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于(　)

A. B. C. D.

4．已知离散型随机变量ξ的分布列为

ξ

10

20

30



P

0.6

a

－



则D(3ξ－3)等于(　)

A．42 B．135 C．402 D．405

5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于(　　)

A.p B．1－p C．1－2p D.－p

6．15．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

7．下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．

其中说法正确的是(　)

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

8．若
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．3 D．2

9．曲线y＝x3＋x在点（1,
）处的切线与坐标轴围成的三角面积为(　　)

A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.

10．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是(　　)

A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3

11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)

A.、0 B．0、 C．－、0 D．0、－

12．若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．

14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

15．
lnx的减区间为________．

16．函数
对于
总有
≥0 成立，则= 　 ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．

(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；

(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

18．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X)；

(2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

9．(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”

（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？（注：0.95以上把握说明有关）

非体育迷

体育迷

合计



男









女



10

55



合计









（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为
.若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列，期望
和方差

附：
，

0.05

0.01





3.841

6.635





20．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.

(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；

(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．

21．(12分)已知函数f(x)＝(x∈R)．

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)当m=2时，求函数f(x)的单调区间与极值．

22．(12分)设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)当x∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

(3)若x1，x2∈[－1,1]，求证：|f(x1)－f(x2)|≤.

高二理数月考试题

1-6，144444 ,7-12，321414

13 0.8 14 0.128 15 （0,1） 16，4

17.解析　(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.

∴ξ的分布列为

ξ

0

1

2



P









(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，

则P(C)＝＝＝.

∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.

(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.

18.解析　(1)X的概率分布列为

X

0

1

2

3



P











E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5或

E(X)＝3×＝1.5.

(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C()3＝.

(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件，

P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.

19、【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题.

【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而
列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



 女

45

10

55



合计

75

25

100



将
列联表中的数据代入公式计算，得 ……3分

因为
，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6分

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
.

由题意
，从而
的分布列为

0

1

2

3















 ……10分

，
. ……12

20解析：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．

设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.

(2)由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.

∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，

∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，

所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

21解析：(1)当m＝1时，f(x)＝，f(2)＝，

又因为f′(x)＝＝，则f′(2)＝－.

所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为

y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.

(2)f′(x)＝

＝.

令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝m.

∵m＞0，∴－＜m.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x



－



m

(m，＋∞)



f′(x)

－

0

＋

0

－



f(x)

递减

极小值

递增

极大值

递减



从而f(x)在区间，(m，＋∞)内为减函数，在区间内为增函数，

故函数f(x)在点x1＝－处取得极小值f，且f＝－m2，函数f(x)在点x2＝m处取得极大值f(m)，且f(m)＝1.

22解析：(1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，

∴对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，

∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，

即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，

∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，

∵当x＝1时，f(x)取极小值－，

∴3a＋c＝0，且a＋c＝－，

解得a＝，c＝－1.