本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

1、答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他选项；非选择题答案使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列函数中，在(0，+∞)上是增加的是　(　　)

A.f(x)=2sinxcosx B.f(x)=xex

C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx

2.设f(x)=xa-ax(0

A.0　　　　B.a　　　　C.1　　　　D.1-a

3.如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f′(x)的图像可能是下图中的

　(　　)

4.若(2，+∞)为函数y=2x-错误！未找到引用源。的递增区间，则a的取值范围为　(　　)

A.a≥-8 B.-8

C.a<-8 D.a>0

5.已知函数f(x)=xlnx，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于　(　　)

A.1 B.-1 C.±1 D.不存在

6.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2(x>0)，为使利润最大，应生产　(　　)

A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台

7.函数y=xcosx-sinx在下列区间内是增加的是(　　)

A.(错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。) B.(π，2π) C.(错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。) D.(2π，3π)

8.函数y=错误！未找到引用源。的最大值为　(　　)

A.e-1 B.e C.e2 D.错误！未找到引用源。

9.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点　(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.函数f(x)=x2-2lnx的递减区间是　(　　)

A.(0，1] B.[1，+∞)

C.(-∞，-1]，(0，1) D.[-1，0)，(0，1]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，则x0的值为________．

14．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

15.若函数y=(a-1)lnx+2x-1在(0，+∞)上增加，则a的取值范围为　　　　.

16.函数y=2x3-15x2+36x-24的极大值为　　　　，极小值为　　　　.

三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(13分)求函数f(x)=错误！未找到引用源。x3-x2-8x+1(-6≤x≤6)的单调区间、极值.

18.(13分)将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小?

19．(14分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.

(1)求实数m的值；

(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．

20．(15分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8(a∈R)，若f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，求a的取值范围．

21.(15分)(2013·北京高考)设l为曲线C:y=错误！未找到引用源。在点(1,0)处的切线.

(1)求l的方程.

(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.



1.【解析】选B.对于B项，f′(x)=(xex)′=ex+xex，当x>0时，f′(x)>0恒成立.

2.【解析】选C.令f′(x)=axa-1-a=0(0

3.【解题指南】若函数y=f(x)在某区间上增加，则f′(x)>0；若函数y=f(x)在某区间上减少，则f′(x)<0.

【解析】选A.由f(x)的图像可知，函数f(x)从左至右有四个单调区间，依次为递增、递减、递增、递减，故f′(x)的图像从左至右应有四个部分，其函数值依次为正、负、正、负.

4.【解析】选A.y′=2+
≥0对x>2恒成立，

∴a≥-2x2，∴a≥-8.

5.【解析】选A.因为f(x)=xlnx，所以f′(x)=lnx+1，于是有x0lnx0+lnx0+1=1，解得x0=1.

6.【解析】选A.设利润为y，则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0)，

∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6)，令y′=0，解得x=0或x=6

经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.

7.【解析】选B.若要求函数y=xcosx-sinx在区间内是增加的，则需要y′=-xsinx>0，由选项知，只有B选项符合y′>0，故选B.

8.【解析】选A.令y′=
=
=0，得x=e.当x>e时，y′<0；当x0，y极大值=f(e)=
，在定义域内只有一个极大值，所以ymax=
.

9.【解析】选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值的点即函数由减少的变为增加的点，其导数值为由负到正的点，只有1个.

10.【解析】选A.令f′(x)=2x-
=
≤0.

考虑到定义域x>0，故x2-1≤0，∴0

【一题多解】先用排除法去掉C，D，再把A，B答案代入进行验证，把B排除，故选A.

11.【解析】选C.当k=1时,f'(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;

当k=2时,f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近的左侧,f'(x)<0,

在x=1附近的右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.

12.【解析】选D.∵f′(x)=x2-3，令f′(x)=0，则x=±
.

又f(-2)=
，f(-
)=2
，f(
)=-2
，f(2)=-
.∴f(x)在区间[-2，2]上的最大值为2
，其对应点为-
.

14．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

解析　f′(x)＝3x2＋a，由题可知f′(x)＝0有两个不等的根，∴a<0.

答案　(－∞，0)

15.【解析】y′=(a-1)·
+2>0在(0，+∞)上恒成立，

即a-1>-2x，而x>0，∴a-1≥0，∴a≥1.

答案：a≥1

【举一反三】若把题目中的“a-1”改为“a+1”，则a的取值范围为　　　　.

【解析】y′=(a+1)·
+2>0在(0，+∞)上恒成立，

即：a+1>-2x，而x>0，∴a+1≥0，∴a≥-1.

答案：a≥-1

16.【解析】y′=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3)，

令y′=0得x=2或x=3.

经判断有极大值为f(2)=4，极小值f(3)=3.

答案：4　3

【变式备选】已知函数f(x)=
x3+3x2+2，若f′(a)=4且a∈{a|a2-2a>0}，则a=　　　　.

【解析】因为f′(x)=10x2+6x，所以f′(a)=10a2+6a=4，所以a=-1或a=
，又因为a2-2a>0，所以a<0或a>2，所以a=-1.

答案：-1

17.【解析】∵f(x)=
x3-x2-8x+1，

∴f′(x)=x2-2x-8，令f′(x)=0，得x=-2或x=4.

当x∈(-6，-2)时，f′(x)>0；

当x∈(-2，4)时，f′(x)<0；

当x∈(4，6)时，f′(x)>0.

∴f(x)的递增区间为[-6，-2)，(4，6]，

递减区间为[-2，4].

当x=-2时，f(x)取得极大值f(-2)=
；

当x=4时，f(x)取得极小值f(4)=-
.

【举一反三】若题目条件不变，求函数f(x)在区间[-6，6]上的最值.

【解析】∵f(x)=
x3-x2-8x+1，

∴f′(x)=x2-2x-8，令f′(x)=0，得x=-2或x=4.

当x∈(-6，-2)时，f′(x)>0；当x∈(-2，4)时，f′(x)<0；

当x∈(4，6)时，f′(x)>0.

当x=-2时，f(x)取得极大值f(-2)=
；

当x=4时，f(x)取得极小值f(4)=-
，

又f(-6)=-59，

f(6)=-11，所以，最大值为
，最小值为-59.

18.【解析】设弯成圆的一段长为x，另一段长为100-x，记正方形与圆的面积之和为S，则

S=π(
)2+(
)2(0

S′=
-
(100-x).令S′=0，则x=
(cm).

由于在(0，100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x=
cm时，面积之和最小.

故当截得弯成圆的一段长为
cm时，两种图形面积之和最小.

19．(12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.

(1)求实数m的值；

(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．

解　f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0得，x＝－2，或x＝2.

故f(x)的增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，

减区间为(－2,2)．

(1)当x＝－2时，f(x)取得极大值，

故f(－2)＝－＋8＋m＝，∴m＝4.

(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4

又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.

20．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8(a∈R)，若f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，求a的取值范围．

解　f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)，

令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝1.

(1)当a<1时，则x1时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上是增函数．

故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．

(2)当a≥1时，则x<1或x>a时，f′(x)>0.

∴f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上是增函数．

从而f(x)在(－∞，0)上是增函数．

综上可知，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．

21.【解题指南】(1)先求出切点处的导数,再代入点斜式方程求切线方程.

(2)转化为x-1>
,再转化为求f(x)=x(x-1)-lnx,x>0的最小值问题.

【解析】(1)y'=
,于是y'|x=1=1,因此l的方程为y=x-1.

(2)只需要证明?x>0且x≠1,x-1>
.

设f(x)=x(x-1)-lnx,x>0,

则f'(x)=2x-1-
=
,

当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.

所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

所以f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值.

所以f(x)>f(1)=0(x≠1).

因此,除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.