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| 简介：
理 科 数 学 满分150分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项答在机读卡上） 1.直线在x轴上的截距为( ) A. B. C. D.2 2.命题“?x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为( ) A．?x∈R，x2－2x＋4≥0 B．?xR，x2－2x＋4≤0 C．?x∈R，x2－2x＋4>0 D．?xR，x2－2x＋4>0 3.几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是( ) A． B． C． D． 4.已知，则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 5.设表示平面，表示两条不同的直线，给定下列四个命题： ，, 其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(2)( 4) C.(3)(4) D.(2)(3) 6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与两点，交双曲线的渐近线于两点，若，则双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 7.已知恒成立，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 8.用一个与圆柱母线成600角的平面截圆柱，截口为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9.光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为( ) A．y＝x－1 B．y＝x－ C．y＝x＋ D．y＝x＋1 10.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( ) A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卡上） 11.不等式|x＋3|+|x－2|≥7的解集为_______; 12.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ; 13.在坐标平面内,与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共 有 条; 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为 ; 过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP， 则点P的轨迹方程为________. 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分13分）如图将长，宽的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示： (1)求异面直线PQ与AC所成角的余弦值 (2)求三棱锥的体积 17.（本小题满分13分）已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0. (1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k的取值集合 (2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长. 18.（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0. 命题q：实数x满足 (1)当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O 为坐标原点). 求证：(1)A、B两点的横坐标之积为； (2)直线AB经过一个定点. 20.（本小题满分13分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，点E在PD上，且满足，，, 在棱上是否存在一点F,使,若存在，求出的长度 （2）求二面角的余弦值 21.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为,且过点． (1) 求椭圆及其“伴随”的方程; (2) 过点作“伴随”的切线交椭圆于,两点, 记为坐标原点)的面积为, 将表示为的函数, 并求的最大值. 2016级理科数学参考答案 选择题： ACACB DACBA 填空题： 12. 13. 2 14. 6 15. 三、解答题： 16.解：（1）由已知，三棱柱为直三棱柱， 在上取一点D，使得,连结, 所以，,在中， 所以直线PQ与AC所成的夹角的余弦值为 （2） 17.解：（1）已知圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=4，其圆心（3，4）到直线kx-y-4k+3=0的距离为. 直线和圆总有两个不同的公共点，所以＜2，即（k+1）2＜4（1+k2）， 即3k2-2k+3＞0.而3k2-2k+3=3（k-）2+＞0恒成立.所以k的取值集合为R （方法二：直线过定点（4,3），可以判断点（4,3）在圆的内部，从而确定直线和圆总有两个不同的公共点，所以k的取值集合为R） （2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短， 而d=,当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，dmax=. 故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为 （注：由（1）可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点（4,3）的距离，从而确定最短弦;在上面的解法中对k的分类讨论用对勾函数求解也可.） 18.解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，得a 当a＝1时，1 由解得2 若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a ＝{x|2 根据题意可得 ，则0 故实数a的取值范围是{a|1 证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=2px1、y22=2px2. ∵OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0, y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2). ∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值. (2)∵y12-y22=2p(x1-x2), ∴=. ∴直线AB的方程为y-y1= (x-x1), 即y=x-·+y1, y=x+, 亦即y=(x-2p). ∴直线AB经过定点(2p,0). 20.解：连结 建立空间直角坐标系 则 ,,,,,. 设棱上一点F ，，所以 所以F为的中点时，，并且此时 设平面的法向量为 故二面角的余弦值为 21.解析：(1) 椭圆的离心率为, 则, 设椭圆的方程为 ……………2分 ∵椭圆过点，∴， ∴， …………….………..4分 ∴椭圆的标准方程为， 椭圆的“伴随”方程为. ………..6分 (2) 由题意知，. 易知切线的斜率存在,设切线的方程为 由得 ………..8分 设,两点的坐标分别为, , 则 , . 又由与圆相切, 所以, . 所以 ……10分 , . (当且仅当时取等号) 所以当时， 的最大值为1. ………..12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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