第Ⅰ卷（选择题共50分）

一．选择题（每小题5分共50分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）

1．若
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列说法中正确的是（ ）

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

C．“
,则
全为
”的逆否命题是“若
全不为
, 则
”

D．“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为

“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B不都是锐角”

3．若实数k满足0

A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等

4．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）

A．至少有1枚正面和最多有1枚正面 B．最多1枚正面和恰有2枚正面

C．至多1枚正面和至少有2枚正面 D．至少有2枚正面和恰有1枚正面

5．若
,使
成立的一个充分不必要条件是(? ? )

A．
B．
C．
? D．

6．若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　　)

A．k＝9? B．k≤8? C．k＜8? D．k＞8?

7．若变量
满足
则
的最大值是（ ）

A．90 B．80 C．70 D．40

8．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．

A． B. 0 C. D.

9．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，

则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为（ ）

A．-6 B．6 C．2 D．1

10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2分别是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　 　）

A．
B．
C．
D．2

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二．填空题（每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）

11．若
,
，且
为纯虚数，则实数的值为 ．

12．已知点P在直线4x＋3y-12=0位于第一象限的部分上，过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A,B，则矩形OAPB面积的最大值为________．

13．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为1，b，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则b＝________．

13题图

14．已知
,A（1，2），C（0，1），则方程有实数根的概率为 ．

15．若直线
与曲线满足下列两个条件：

直线在点
处与曲线相切；
曲线在附近位于直线的两侧.

则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_____ _ (写出所有正确命题的序号) .

①直线：
在点
处“切过”曲线：
；

②直线：
在点
处“切过”曲线：
；

③直线：
在点
处“切过”曲线：
；

④直线：
在点
处“切过”曲线：
，

⑤直线：
在点
处“切过”曲线：

三．解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分13分)

(1)已知命题p: m＞2；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“
”为真，且“p或q”为真，

求m的取值范围．

(2)已知命题
；
，若
是
的充分非必要条件，

求实数的取值范围．

17．(本小题满分13分)

已知平面直角坐标系中，点P的坐标(x－2，x－y)．

(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求事件“P点在第一象限”的概率；

(2)若利用计算机随机在区间[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求“P点在第一象限”的概率．

18．(本小题满分13分)

如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
，
，
，
，为
的中点.

(1)求直线
与
所成角的余弦值；

(2)在侧面
内是否存在一点
，使
面
？

若存在，求出
到
和
的距离；若不存在，说明理由.

19．(本小题满分13分)

烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h米，盖子边长为a米，(不计容器厚度)

(1)求a关于h的解析式a=f(h)；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值

20．(本小题满分14分)

在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝
，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持
的值不变．

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）直线l：
与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．

21.(本小题满分14分)

已知二次函数
，且函数
在
处取得极大值为
．

．

（1）求
的表达式；

（2）若
使
成立，求实数m的取值范围；

（3）设
，
，

证明:对
，恒有

福建省泉州第一中学2014—2015学年第一学期期末考试

高二年数学试卷 答案卷

二．填空题11． 4 12． 3 13． 1＋ 14．
15． ①③④

三．解答题

16． 解：（1）若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，

则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0 解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3. ………………2分

∵“
”为真，“p或q”为真， ∴p为假，q为真 ………………4分

∴
解得：1＜m≤2. ………………6分

（2）法一：由
，得
．
：
．……………8分

由
，得
．
：B={
}．………10分

∵
是
的充分非必要条件，且
， A
B．………11分
…………13分

法二：由
，得
．……………………8分

由
，得
．……………………10分

∵
是
的充分非必要条件 是的充分非必要条件………………11分

……………………13分

17．解：(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如下表：

(x，y)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(3,1)

(3,2)

(3,3)



P(x－2，x－y)

(－1,0)

(－1，－1)

(－1，－2)

(0,1)

(0,0)

(0，－1)

(1,2)

(1,1)

(1,0)



……………………3分

其中基本事件是总数为9，随机事件A“P点在第一象限”包含2个基本事件，

故所求的概率为P(A)＝.……………………6分

(2)设事件B为“P点在第一象限”．

若则其所表示的区域面积为3×3＝9. ……………………8分

由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分，……………………10分

其区域面积为1×3－×1×1＝. ……………………11分

∴ P(B)＝＝.……………………13分

18．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则
的坐标为
、
、
、
、

、
，从而

设
的夹角为
，则

∴
与
所成角的余弦值为
.-------------6分

(2)由于
点在侧面
内，故可设
点坐标为
，则

，由
面
可得，

∴

即
点的坐标为
，从而
点到
和
的距离分别为
.-------------13分

19．解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：

消去
-------------6分

(2)由
(h＞0) -------------8分

得：
-------------10分

所以V≤
，当且仅当h=
即h=1时取等号-------------12分

故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为
立方米. -------------13分

20．解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．

　　∵　
，

　　∴　动点轨迹为椭圆，且
，c＝1，从而b＝1．∴　方程为　
． ----6分

（2）设M（
，
）、N（
，
），将y＝x＋t代入
，得
．--8分

　　∴　
由①得
＜3．-------------10分

　　∴　
．-------------12分

　　∴　t＝0时，
．-------------14分

21.解：（1）
，于是
=

，由已知

经检验，符合题意。

所以
. ……………………3分

（2）

当m>0时，
，则f（x）在
上单调递增，

由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分

当m=0时，
对
，
恒成立； ……………………5分

x











－

0

＋





减

极小

增



当m<0时，由
，列表：

……………………7分

所以若
，
恒成立，则实数m的取值范围是
.

故
使
成立，实数m的取值范围

．……………… 9分

（3）因为对
，
所以
在
内单调递减.

于是
………………… 11分

法一：
………………… 12分

记
，

则

所以函数
在
是单调增函数，………………… 13分

所以
，故命题成立.………………… 14分