“六校联考”2014-2015学年下学期第一次月考高二数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：泉港一中 李爱辉 审题人：泉港一中 易灯元

第Ⅰ卷（共50分）

选择题（共10小题，每小题5分，计50分，每小题只有一个答案是正确的）

1. 在复平面内,复数
对应的点所在的象限是 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于 (　 　)

A．28 B．32 C．33 D．27

3、天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理 （ ）

A．归纳推理 B． 类比推理 C．演绎推理 D．反证法

4. 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第34颗珠子的颜色是 (　　)

A．白色 B．白色的可能性大 C．黑色 D．黑色的可能性大

5. 观察下面的演绎推理过程，判断正确的是 (　　)

大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.

小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.

结论：A1B1∥AD.

A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误

C．小前提出错导致推理错误 D．仅结论错误

6. 如果数据x1、x2、…、xn 的平均值为
，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5 的平均值和方差分别为 （ ）

A.
和S2 B. 3
+5和S2 C. 3
+5和9S2 D.3
+5和9S2+30S+25

7. 有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，

则有多少种不同坐法 （ ）

A.7! 种 B.240种 C.480种 D.960种

8. 10个篮球队中有2个强队,先任意将这10个队平均分成两组进行比赛,则2个强队不分在同一组的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9. 在
的展开式中的
的系数为 　　　　　（ ）

A．210 B．－210 C．－960 D． 280

10、从含有甲乙的6名短跑运动员中任选4人参加4*100米接力，问其中甲不能跑第一棒，且乙不能跑第四棒的概率是： （ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，计20分）

11.
展开式中x2的系数为

12.用反证法证明命题：“设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于 ”时，第一步应写：假设

13. 现有一大批种子，其中优良种占30℅，从中任取8粒，记X为8粒种子中的优质良种粒数，则X的期望是：

14.一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率 P(B|A)＝

15. 将集合{
|
且
}中的元素按上小下大，

左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第
列

的数记为
（
）,则
= .

三、解答题（共6题，满分80分）

16.（本小题满分13分）

已知复数

（1）求复数Z的模；

（2）若复数Z是方程
的一个根，求实数
的值？

17. （本小题满分13分）

已知函数
，函数

（1）求
的单调区间；

（2）求函数
与函数g(x)的曲线所围成封闭图形的面积？

18. （本小题满分13分）

在一次抽奖活动中，有甲、乙等7人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从7人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的5人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这5人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；

（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值
。

19. （本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，
丄平面
，
丄
，

∠BCA

，
,DC=

(Ⅰ) 证明
丄
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱
上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为
，

求AE的长.

20. （本小题满分14分）

数列{an}满足Sn＝2n+2an(n∈N*)．

(1)计算a1、a2、a3，

（2）有同学猜想an
＝；请根据你的计算确定的值，并用数学归纳法证明。

21. (本小题满分14分)

已知函数f(x)=x2e-2ax (a＞0),

（1）已知函数f(x)的曲线在x＝1处的切线方程为
，

求实数
的值；

（2）求函数在［1，2］上的最大值.

“六校联考”

2014-2015学年下学期第一次月考

高二数学（理科）答题卷

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：泉港一中 李爱辉 审题人：泉港一中 易灯元

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题只有一个答案是正确的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，计16分）

11、　　　　　　 12、　　 　

13、 　　 　　 14、　　 　 　15、

三、解答题（共6题，满分74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

“六校联考”

2014-2015学年下学期第一次月考

高二数学（理科）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题只有一个答案是正确的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

C

B

C

D

B

C

D





二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，计16分）

11、
12、　　a、b、c都小于

13、 2.4　 14、
　15、 144

三、解答题（共6题，满分74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16（本小题满分13分）

解：（1）
…………………………4分

∴
…………………………6分

（2）∵复数Z是方程
的一个根

∴
…………………………9分

由复数相等的定义，得：

…………………………11分

解得：
…………………………13分

17、解：∵

∴
…………………………1分

令
>0,解得：

令
<0,解得：
…………………………4分

∴
的单调增区间为
，

的单调减区间为
…………………………6分

（2）令

解得：x=0,x=3 …………………………7分

由定积分的几何意义，知：函数
与函数g(x)的曲线所围成的面积为：

…………………10分

＝
…………………………13分

18、解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , …………………………1分

则P（A）=
，

答：甲和乙都不获奖的概率为
…………………………………………5分

（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，………………………………6分

P(X=0)=
P(X=400) =
P(X=600)=

P(X=1000)=
………………………………………………………10分

∴X的分布列为

X

0

400

600

1000



P











 ……………………11分

∴E(X)=0×
+400×
+600×
+1000×
=
(元).

答: 甲获奖的金额的均值为
(元). …………………………………13分

19. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵在
中，AD＝2，
,DC=

∴
∴
……………………1分

如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B
，P（0,0,2），

易得

于是
，

所以PC⊥AD. ……4分

（Ⅱ）

设平面PCD的一个法向量

则

不妨令
，可得

，可取平面PAC的一个法向量

，于是

从而
所以二面角A-PC-D的正弦值为
.……8分

（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中
，由此得
由
故
，

所以
，解得
，即
.……13分

20. （本小题满分14分）

解：　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2+2a1，∴a1＝－2 ……………………1分

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2+2a2，∴a2＝－6 ……………………2分

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3+2a3，∴a3＝－14 ……………………3分

当n＝4时，a1＋a2＋a3+
＝S4＝2×4+2a4，∴a4＝－30 ……………………4分

（2）＝n+1,由此猜想an＝
(n∈N*) ………………7分

证明：①当n＝1时，a1＝－2，结论成立， ……………………8分

②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，猜想成立，

即ak＝
成立，

当n＝k＋1时， ……………………9分

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)+2ak＋1－2k－2ak＝2－2ak+2ak＋1，

∴ak＋1＝－2＋2ak＝－2+2（
）＝2－

即，当n＝k＋1时，猜想成立， ……………………12分

根据，①和②对于一切的自然数n∈N*，猜想成立． ……………………14分

21. (本小题满分14分)

解：（1）f（x）=x2e-2ax（a＞0）,∴
=2xe-2ax+x2·（-2a)e-ax=2e-ax(-ax2+x). 1分

∴
=
解得：a=2 ……………………3分

又由点
在切线上 解得：
……………………5分

（2）令
>0,即2e-2ax(-ax2+x)>0,得0

∴f(x)在（-∞,0),
上是减函数，在
上是增函数.�ぁ�…………………7分

①当0<
<1,即a>1时,f(x）在（1，2）上是减函数,��

∴f（x）max=f（1）=
……………………9分

②当1≤
≤2,即0.5≤a≤1时，��

f(x)在
上是增函数，在
上是减函数，��

∴f(x)max=f
=a-2e-2 ……………………11分

③当
>2时，即0

∴f（x）max=f（2）=4
�� ……………………13分

综上所述，当0

当0.5≤a≤时，f(x)的最大值为a-2e-2,��

当a>时，f(x)的最大值为
……………………14分