（请注意：时量120分钟 满分120分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合
，
，则( C )

A．
B.
C.
D.

2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）

A． ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④

3．
的值为（ A ）

A．
B.
C.
D.

4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是

，则a等于(　D　)

A． 10.5　　 　B. 5.15　　 　 C. 5.2　　　 D. 5.25

5．若圆
关于直线
：
对称，则直线
的斜率是（A ）

A．
B.
C.
D.

6． 在等比数列
的值为（ C ）

A． 1 B. 2 C. 3 D. 9

7．阅读下图所示的程序框图，若输入的
分别为21，32，75，则

输出的
分别是（A ）

A．75，21，32 B. 21，32，75 C. 32，21，75 D. 75，32，21

8．若偶函数
满足
，则不等式
的解集是( D )

A．
B.
C.
D.

9．在四边形
中，
，
,则该四边形的面积为（ D ）.

A．
B.
C. 5 D. 15

10．变量
满足约束条件
，若使
取得最大值的最优解有无数个，则实数的取值集合是（ B ）

A．
B.
C.
D.

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，

那么异面直线MN与AC所成的角等于_________

12．在等比数列
中，
，公比
，若
，则的值为 ．7

13．将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________．

14．已知函数
在
上为奇函数，则
_________,-1

15．已知函数
上为增函数，则实数的取值范围是 . [1，2]

三、解答题(本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

16．（本小题满分6分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.

（Ⅰ）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

（Ⅱ）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？

解: （Ⅰ）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，

因此第二小组的频率为：
=0.08.

又因为频率=
，所以样本容量=
=
=150.

（Ⅱ）由图可估计该学校高一学生的达标率约为

×100%=88%.

18、（本小题满分8分）如图，在正方体
中，M为
的中点，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的表面积和体积.

解:

（Ⅰ）连结BD交AC于O，连结OM，证明
即可。

（Ⅱ）体积为
，表面积为

（2）由（1）知
图象的对称轴为直线
，∴
即
．

（3）
时，
恒成立，

即
在
时恒成立。

∴

即

②法一：假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为
,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点即N
,以AB为直径的圆经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=
，

∴|AN|=
.又|ON|=
由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.

∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1．

法二：假设存在直线l，设其方程为：

由
得：
①

设A（
），B（
）

则：
∴

又∵OA⊥OB∴
∴

解得b=1或
把b=1和
分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或

∴存在满足条件的直线方程是：

四、附加题(本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

22.（文科●本小题满分12分）已知数列
满足
且
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求实数，使得
且
为等差数列；

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下求数列
的前n项和
.

解：(1)当n=2时，
，当n=3时，

，
.

（2）当
时，

.

要使
为等差数列，则必须使1+2t=0,
,

即存在
，使
为等差数列.

21. （理科●本小题满分8分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记
为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求
的分布列和均值（数学期望）.

解：解法一：

（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则
分别表示这3个人不接受挑战．

这3个人参与该项活动的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
．共有8种；

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：
，
，
，
，共有4种． 根据古典概型的概率公式，所求的概率为
．

解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为
，不接受挑战的概率也为
．

（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，

则
．

（Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以
．

所以
，
，

，
，

，
，

故的分布列为：

所以
．故所求的期望为．

22. （理科●本小题满分12分）求解下列问题：

（Ⅰ）已知
，
，求
的最小值；

（Ⅱ）已知
，求函数
的最小值；

（Ⅲ）已知正数
，
，
，
，

求证：

（Ⅱ）解：（法一）
，

而
，
，

当且仅当
，即
时取到等号，则
，

所以函数
的最小值为
.

（法二） 由柯西不等式可得：

当且仅当
，即
时取到等号，则
，

所以函数
的最小值为
.