衡阳县四中2015年高二学业水平模拟考试（二）数 学

第I卷

一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合
，
，则
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

2. 与－角终边相同的角是(　　)

A.  B.  C.  D. 

3.直线与直线
垂直，则直线的斜率为 ( 　 　)

A． B．－ C． D．－

4.定义域为R的四个函数
中，奇函数的个数为 （ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5.甲、乙两人下棋，甲获胜概率为
﹪,甲不输的概率为
﹪，则甲、乙下成和棋为 （ ）

A.
﹪ B.
﹪ C.
﹪ D.
﹪

6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 (　 　)

（第6题图）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台

7.若
，则
的最大值是 （ ）

A.
B.
C. 1 D. 2

8．如图所示，算法流程图的输出结果为 (　 　)

（第8题图）

A. 　　　 　 B.  C.  D． 

9.下列大小关系正确的是 （ ）

A.
>
> B.
>>

C.
>>
D.
>
>

10．如图，正方形
中，点是
的中点，点是
的一个三等分点，那么
为 ( )

A.
B.

C.
D.

(第10题)图）

第II卷

二.填空题:（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答卷

卡的相应位置上）

11.某校高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这

组数据的中位数和平均数为______和____ (第11题图)

12.
的值是_____________;

13．已知向量a=(3,4), 向量b=(2,
),若ab，则实数
的值是____________;

14. 已知
的三个内角
所对的边分别为
，且
，则角的值是____________;

15.设
，在约束条件
下，目标函数
的最大值为4，则的值是_______________.

三.解答题：(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分6分)

已知sin α＝，0<α<，求cos α和sin(α＋
)的值．

17. (本小题满分8分)

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直底面ABCD，线段PD的中点为F.

（第18题图）

(1)求证：EF∥平面PBC；

(2)求证：BD⊥PC.

18. (本小题满分8分)

对某个品牌的U盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示.

图中纵坐标
处刻度不清，根据图表所提供的数据还原
；

（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取
个U盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；

（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”的概率.

(第18题图)

19. (本小题满分8分)

数列
的前项和为
,且
(
N+).

判断数列
是什么数列？

求数列
的前项和
.

20.（本小题满分10分）

已知圆C：
(∈R)的圆心在直线
上.

（1）求实数的值;

（2）求圆C与直线
：
(∈R)相交弦长的最小值．

学业水平测试模拟试卷（二）

数学答案

一．选择题

（1）A； （2）D； （3）C； （4）D； （5）D；

（6）B； （7）B； （8）C； （9）C； （10）D；

二．填空题

(11).91.5; 91.5 （12）
； （13）
； （14）
； （15）3．

三.解答题

16.解：由sin2α＋cos2α＝1，及0<α<，sin α＝，得cos α＝＝. 3分

所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝. 6分

17. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴E为线段BD的中点．又∵点F为线段PD的中点，∴EF∥PB.又∵PB?平面PBC，EF?平面PBC，∴EF∥平面PBC.　 4分

(2)∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，BD?底面ABCD，由四边形ABCD菱形，可得BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC.又∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC. 8分

18. 解：（1）

2分

（2）10~30万次之间的U盘所占频率为

设10~30万次之间的U盘应抽取个，
，
4分

（3）10~20万次应抽取
个，设为
，

20~30万次应抽取
个，设为
，

寿命落在1030万次之间的元件中任取个元件，一切可能结果组成的基本事件空间为

“抽取的两个U盘恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”为事件，
,
. 8分

19.解：(1)当
时，
，解得
，

当
时，
，得
，所以
，

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列. 3分

由（1）知：
，所以

?

?

?-?得

8分

20.解：（1）圆C的方程可化为
，将圆心坐标（1,）代入直线方程
中，得
4分

(2)∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．

∴l恒过的交点M(3,1)． 7分

由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．

又|CM|＝＝，

∴弦长为l＝2＝2＝4. 10分