第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.设全集合
，集合
，则
(　 　)

A.
B.
C.
D.

2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于
”时，正确的假设是(　 　)

A.三个内角都不大于
B.三个内角都大于

C.三个内角至多有一个大于
D.三个内角至多有两个大于

3.在极坐标系中，曲线
上的动点与定点
的最远距离等于(　 　)

A.
B.
C. D.

4.设函数
，那么
(　 　)

A．27 B．9 C．0 D．1

5.设
且
，则“函数
在上是减函数”是“函数
在上是增函数”的(　 　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.给出下列不等式：（1)
(2)
(3）
.其中成立的个数是(　 　)

A.0 B.1 C.2 D.3

7.下列参数方程中，与普通方程
等价的参数方程是(　 　)

（
为参数） B.
（
为参数）

C.
（为参数） D.
（
为参数）

8.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为
,且
,若
,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(　 　)

A.
错误！未找到引用源。 B.
错误！未找到引用源。 C.
D.

9.已知命题
，命题
恒成立.若
为假命题,则实数的取值范围为(　 　)

A.
B.
C.
或
D.

10.设函数
在上可导，其导函数为
，且函数

的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　 　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

11.过抛物线
焦点作倾斜角为
的直线，与拋物线分别交于，两点(点在轴左侧)，则
(　 　)

A.
B.
C.
D.

12.设函数
的导函数是
，对任意
，都有
，则(　 　)

A.
B.

C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．有以下判断：

（1）
与
表示同一个函数

（2）
与
是同一函数．

（3）若
，则
.其中正确判断的序号是________．

14.已知直线过点
，其参数方程为
（是参数），若直线
与直线
交于点
，则
等于　　　　.?

15.向边长为米的正方形木框
内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在点;则点到点的距离大于米,同时
的概率为　　　　.?

16.若曲线
存在斜率为的切线,则实数的取值范围是　　　　.?

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本题满分10分)

设
实数满足
，其中
；
实数满足
错误！未找到引用源。

(1)若
，且
为真,求实数的取值范围.

(2)
是
的充分不必要条件,求实数的取值范围.

18.(本题满分12分)

设函数
，其中
.

(1)当
时，求不等式
的解集；

(2)若
时，恒有
，求a的取值范围．

19.(本题满分12分)

已知曲线C的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线
的参数方程为
(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

　人数　

价格满意度





1

2

3

4

5



服务满意度

1

1

1

2

2

0





2

2

1

3

4

1





3

3

7

8

8

4





4

1

4

6

4

1





5

0

1

2

3

1



20.(本题满分12分)

某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如右表(服务满意度为x,价格满意度为y).

(1)求高二年级共抽取学生人数;

(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”对应人数的方差;

(3)为提高食堂服务质量,现对样本进行研究,从
且
的学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.

21.(本题满分12分)

已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆上的点满足
，且
的面积
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）是否存在直线
，使
与椭圆
交于不同的两点
、
，且线段
恰被直线
平分？若存在，求出
的斜率取值范围；若不存在，请说明理由.

22．(本题满分12分)

已知函数
.

(1)若
，试判断
在定义域内的单调性；

(2)若
在
上的最小值为
，求的值；

(3)若
在(1，＋∞)上恒成立，求的取值范围．