揭阳第一中学2014-2015年度第二学期第2次阶段考试

高二级理科数学 试题

参考数据：

1、台体的体积公式：
，其中
、
分别表示上、下底面面积，
表示高；

2、若
，有
，
，
.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知复数 ，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3.“
”是“曲线
过坐标原点”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知集合
，
，
，从这三个集合中各取一

个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）

A.
B.
C.
D.

有
本不同的书，其中语文书
本，数学书
本，物理书
本，若将其

随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知随机变量
服从正态分布
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

8．等比数列
的各项均为正数，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由
得，
.

附表：

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828





参照附表，下列结论正确的是（ ）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

10. 若椭圆
的面积为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

设
、
为椭圆的两个焦点，以
为圆心作圆
，已知圆
经过椭圆的中心，且与椭圆相交于

点，若直线
恰与圆
相切，则该椭圆的离心率
为（ ）

B．
C．
D．

设
是连续的偶函数，且当
时，
是单调函数，则满足
的所有
之和为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若
，则
．

14．在矩形
中，

，
，则实数
．

15．已知等差数列
中，有
成立．类似地，在等比数列
中，

有_____________________成立．

16. 函数
是定义在
上的偶函数，且满足
．当
时，
.若在区间
上方程
恰有四个不相等的实数根，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知
，

（1）写出
图像的对称中心的坐标和单调递增区间；

（2）
三个内角
、
、
所对的边为
、
、
，若
，
．求
的最小值．

18.（本小题满分10分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.

（1）从这16人中随机选取3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的数学期望．

19.（本小题满分12分）如图，菱形
与矩形
所在平面互相垂直，
．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，当二面角
为直二面角时，求
的值；

（3）在（2）的条件下，求直线
与平面
所成的角
的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知数列
满足：
．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）令
（
），如果对任意
，都有
，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）如图，过点
作抛物线
的切线
，切点
在第二象限．

（1）求切点
的纵坐标；

（2）若离心率为
的椭圆
恰好经过切点
，设切线
交椭圆的另一点为
，记切线
，
，
的斜率分别为
，
，
，若
，求椭圆方程．

（本小题满分14分）已知函数
，其中
.????

?若函数
在
上有极大值0，求
的值；

（提示：当且仅当
时，
）

（2）?讨论并求出函数
在区间
上的最大值；

（3）在（2）的条件下设
，对任意
，

证明：不等式
恒成立.

揭阳第一中学2014-2015年度第二学期第2次阶段考试

高二级理科数学 答案

选择题：BBADA BCBCD AD

填空题: 13.
14. 4 15.
16.

解答题：

17.解：（1）化简得：
，………2分 对称中心为：
，……4分，单调递增区间为：
……6分（2）由（1）知：
，
，

，
，
，
，………8分

根据余弦定理：
，

当且仅当
时，
取最小值1.………12分

18.解：（1）
的可能取值为
、
、
、
，………1分

，
，

，
，………3分



1




















的分布列为

………4分

数学期望
， ………5分

至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
.………6分

（2）解法一：
的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为

∴
；

；



1



















∴
的分布列为

数学期望

. ………10分

解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为
，

故随机变量
满足二项分布
，故数学期望
.………10分

19．（1）证明：
，
，