2015年杭州市高二年级教学质量检测

数学试题卷（理科）

考生须知：

1.本试卷分试题卷和答题卷，满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，在答题卷上相应位置填写学校、姓名和准考证号，并用2B铅笔将会考号对应选项涂黑。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。

4.考试结束，只需上交答题卷。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）

1．已知全集
，则集合
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．已知集合
，若
，则
等于

A.9 B.8 C.7 D.6

4．定义在R上的函数
，若对任意
，都有
，则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：

①
；

②
；

③
；

④

其中是“H函数”的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为
，则
的图 象向右平移
后的表达式为

A.
B.

C.
D.

6．在△ABC中，点G是△ABC的重心，若存在实数
，使
，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

7．已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，若
是数列
的前
项的和，则
的最小值为 （ ）

A．4 B．3 C．
D．

8．若实数
满足不等式组
，且
的最小值等于
，则实数
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设
、
分别为双曲线
的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．2

10．三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
是
的中点，点
在
上，且满足
，直线
与平面
所成角
的正切值取最大值时
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（共8题，每题3分，共24分）

11． 已知函数

， 若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

12．对于函数
，有下列4个结论：

①任取
，都有
恒成立；

②

，对于一切
恒成立；

③函数
有3个零点；

④对任意
，不等式
恒成立．

则其中所有正确结论的序号是 ．

13．已知函数
，下列结论中：①函数
关于
对称；②函数
关于（
，0）对称；③函数
在（0，
）是增函数，④将
的图像向右平移
可得到
的图像．其中正确的结论序号为 ．

14．如图，已知
中，
，
，
是
的中点，若向量
，且
的终点
在
的内部（不含边界），则
的取值范围是 ．

15．数列
的通项
，其前n项和为
，则
为_______.

16．设
，在约束条件
下，目标函数
的最大值等于
，则

.

17．已知正方形
的边长为8，空间有一点
（不在平面
内）满足
，则三棱锥
的体积的最大值是___________．

18．已知椭圆的左焦点为
，右焦点为
.若椭圆上存在一点
，满足线段
相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段
的中点，则该椭圆的离心率为 ．

三、解答题（共4题，第一题10分，后三题每题12分，共46分）

19．（本小题满分10分） 设函数
,
,

（1）若
,求
取值范围;

（2）求
的最值，并给出最值时对应的x的值。

20．数列
中，
，前
项的和记为
．

（1）求
的值，并猜想
的表达式；

（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

21．（12分）如图，在长方体
中，
=
=1，
，点E是线段AB中点．

（1）求证：
;

（2）求二面角
的大小的余弦值；

（3）求
点到平面
的距离．

22．（本题满分12分）在平面直角坐标系
中，点
为动点，
、
分别为椭圆
的左、右焦点．已知
为等腰三角形．

（1）求椭圆的离心率
；

（2）设直线
与椭圆相交于
、
两点，
是直线
上的点，满足
，求点
的轨迹方程．

参考答案与评分标准

一、选择题

1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．A 7A． 8．A 9．B 10．A

二、填空题

11．
12．①③④13．③④14．
15．470 16．
17．
18．

三、解答题

19．（1）
（2）

【试题解析】

（1）
（2）见解析。

【试题解析】

21．（1）详见解析 （2）
（3）

【试题解析】

（1）
；（2）
．

【试题解析】

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