南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二年级期中考试

数学（文科）试题

考试时间：120分钟 命题人：甘海虹

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、学号、考场号、座位号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若α∥β，m?α，则m∥β；②若m∥α，n?α，则m∥n；③若α⊥β，m∥α， 则m⊥β；

④若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中为真命题的是(　　)

A．①③　　　　　B．②③ C．①④ D．②④

2.因为对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数，而y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数，上面的推理错误的是(　　)

A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A. B. C．8π D.

4.观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)

5．某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)

A．4 B．2 C. D．8

6. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：

x

3

4

5

6



y

2.5

t

4

4.5



根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的精确值为(　　)

A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5

7．如图所示，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　)

A．PA＝PB>PC B．PA＝PB

C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC

8.已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填(　　)

A．2 B．3 C．5 D．7

9．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(　　)

A.＋＋＋1 B．2＋3π＋＋1

C.＋＋ D.＋＋＋1

10．已知a，b，c，d为实数，满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则在a，b，c，d中(　　)

A．有且仅有一个为负 B．有且仅有两个为负

C．至少有一个为负 D．都为正数

11. ．直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(　　)

A．AB1∥平面BDC1 B．A1C⊥平面BDC1

C．直三棱柱的体积V＝4 D．直三棱柱的外接球的表面积为4π

12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为(　　)

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有________．

14． 如图所示，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

15．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

16．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：

p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；

q：若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；

r：这种血清预防感冒的有效率为95%；

s：这种血清预防感冒的有效率为5%.

则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)

①p∧￢q　②￢p∧q　③(￢p∧￢q)∧(r∨s)

解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，

(1)求证：AC⊥BC1；

(2)求证：AC1∥平面CDB1.

18.（本小题满分10分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.

19．（本小题满分12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S.

20.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4.

(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；

(2)求证：FB∥平面A′DE.

21.（本小题满分12分）2014年世界经济形势严峻，某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量．为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：

赞成

不赞成

合计



男职工

22

8

30



女职工

8

12

20



合计

30

20

50



(1)用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽5人进行调查，其中男职工、女职工各抽取多少人？

(2)在上述抽取的5人中选2人，求至少有一名男职工的概率；

(3)据此资料，判断对技术培训的态度是否与性别有关？并证明你的结论．

附：K2＝，

P(K2≥k)

0.05

0.01



k

3.841

6.635





22．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF＝AB.

(1)求证：EF∥平面BC1D；

(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．

南昌十九中2014～2015学年度第二学期

高二年级期中考试

数学（文科）试题答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

 A

B

A

D

A

C

B

A

C

D

B





第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、f(2n)>(n≥2，n∈N*) 14、1∶24

15、 16、①④

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.证明　(1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AB2＝AC2＋BC2，

∴AC⊥BC.CC1⊥平面ABC，

AC?平面ABC，

∴AC⊥CC1，又BC∩CC1＝C，

∴AC⊥平面BCC1B1，

BC1?平面BCC1B1，

∴AC⊥BC1.

(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，

∵D是AB的中点，E是C1B的中点，

∴DE∥AC1，

∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

18.解:假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b>a，b>c.

∴>，>.相加得＋>＋＝，与＋＝矛盾，故∠B≥90°不成立．∴∠B<90°.

19.解　由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.

(1)V＝×(8×6)×4＝64.

(2)四棱锥E－ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝ ＝4；

另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝ ＝5.

因此S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.

20.证明　(1)由题意，得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成的，

∴△A′DE≌△ADE.

∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝60°.

又∵AD＝AE＝2，

∴△A′DE和△ADE都是等边三角形．

如图，连接A′M，MC，

∵M是DE的中点，

∴A′M⊥DE，A′M＝.

在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DMcos 60°

＝42＋12－2×4×1×cos 60°，

∴MC＝.

在△A′MC中，A′M2＋MC2＝()2＋()2＝42＝A′C2.

∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.

又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，

∴A′M⊥平面BCD.

又∵A′M?平面A′DE，

∴平面A′DE⊥平面BCD.

(2)取DC的中点N，连接FN，NB.

∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，

∴FN∥A′D.

又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，

AB的中点，

∴BN∥DE.

又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，

∴平面A′DE∥平面FNB.

∵FB?平面FNB，

∴FB∥平面A′DE.

21.(1)在不赞成的职工中抽5人，则抽取比例为＝，

所以男职工应该抽取8×＝2(人)，女职工应该抽取12×＝3(人)．

(2)上述抽取的5人中，男职工2人记为a，b，女职工4人记为c，d，e，则从5人中选2人的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种情况．

基中至少有一名男职工的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共7种情况．

故从上述抽取的5人中选2人，至少有一名男职工的概率为P＝.

(3)因为K2＝≈5.56∈(3.841,6.635)，

所以有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．

22.(1)证明　取AB的中点M，连接A1M.

因为AF＝AB，所以F为AM的中点．

又E为AA1的中点，所以EF∥A1M.

在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，M分别是A1B1，AB的中点，

所以A1D∥BM，A1D＝BM，

所以四边形A1DBM为平行四边形，所以A1M∥BD.

所以EF∥BD.

因为BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，

所以EF∥平面BC1D.

(2)解　设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．

则VE－AFG∶VABC－A1B1C1＝1∶16，

所以

＝＝×××＝×，

由题意，×＝，解得＝＝.

所以AG＝AC>AC，所以符合要求的点G不存在．