白鹭洲中学2014-2015学年度下学期高二年级期中考试数学试卷

命题人：杨承春、吴望保 审题人：罗志远

考生注意：

1、本试卷由试卷I、II卷两部分组成，试卷所有答题都必须写在答题卡上。

2、答题卡与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第I卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足
，则
（ ）

．
．

．
D．

2、一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A与B同时发生的概率是( ?)

．
? ．
? ??
．
? ?? ．

3．某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下一组数据：

2

4

5

6

8





30

40

60

50

70



若与之间的关系符合回归直线方程，则的值是（ ）

．17.5 ．27.5
．17 ．14

4.“
”是“直线
与直线
互相垂直”的(　　)

．充分不必要条件 ．必要不充分条件

．充要条件 ．既不充分也不必要条件

5.下列命题中真命题的个数为（ ）

①过平面外的两点，有且只有一个平面与垂直；

②若平面
内有不共线的三点到平面的距离相等，则
；

③若直线
与平面内无数条直线垂直，则
；

④两异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线.

. 0个 . 1个
. 2个 . 3个

6．已知
，且
，则使得
取得最小值的
分别是（ ）

．2，2 ．

．
．

7.已知命题：“若
，则
有实数解”的逆命题；命题：“若函数
的值域为R，则
”．以下四个结论正确的是（ ）

①是真命题；②
是假命题；③
是假命题；④
为假命题．

．① ② ．② ③
．① ③ ．② ④

8. 如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,

∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为(　)

.
.

.
.

9.已知点
，抛物线
的焦点为，射线
与抛物线
相交于点
，与其准线相交于点
，则
(　　)

．2∶ ．1∶2
．1∶ ．1∶3

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1

的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )

．
．

．
．

11.设关于
的不等式组
表示的平面区域内存在点
,满足
,求得的取值范围是（ ）

．
．

．
．

12．曲线
与直线
有两个不同的交点时，则实数
的取值范围是 （ ）

.
.

.
.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共20分。

13. 从
中，得第个等式是__________.

14 已知直线的极坐标方程为
，则极点到直线的距离是__________.

15.设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处切线的斜率为___________.

16.已知函数
在区间（—1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）已知函数
（其中
），
﹒

（1）若命题“
”是真命题，求的取值范围；

（2）设命题：
，
，若
是假命题，求的取值范围﹒

18. （本题满分12分）设函数
.

（1）若
，解不等式
；

（2）如果
，求的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知：圆
和点
，
为过点且倾斜角为的弦，

（1）当＝135０时，求 弦
的长；

（2）当弦
被点平分时，求出直线
的方程；

(3)设过点的弦的中点为
，求点
的坐标所满足的关系式.

20.（本题满分12分）如下图,在三棱柱
中，侧棱底面
,
为
的中点,
,

（1）求证：
平面
； (2) 求四棱锥
的体积.

21. （本题满分12分）已知函数
（其中
）.

（1）若函数
在
上为增函数，求实数的取值范围；

（2）当
时，求证：对于任意大于1的正整数，都有
.

22.（本题满分12分）已知椭圆
的左、右焦点
，离心率为
，双曲线方程为
，直线
与双曲线的交点为
且
．

（1）求椭圆与双曲线的方程；

（2）过点
的直线与椭圆交于
两点，交双曲线与
两点，当
的内切圆的面积取最大值时，求
的面积．

白鹭洲中学2014-2015学年度下学期高二年级期中考试

数学(文科）试卷参考答案和评分标准

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

A

A

A

B

B

A

C

D

C

A





二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）

13、
14、
15、4 16、

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）

17、（本题10分） 解（1）
其等价于

解得
，故所求x的取值范围是
（ 5分）

（2）因为
是假命题，则为真命题，

又
，
，则当
时，
恒成立，

只需
，即
；

故所求m的取值范围为
﹒ （10分）

18、（本题12分） 解：（1）
，

不等式
即为
，等价于

?；

或
；

或
．

综上，不等式的解集为
或
． （ 6分）

(2)若
，
，不满足题设条件．

若
，
；

若
，
．

所以
的充要条件是
，

从而a的取值范围是
（12分）

19、（本题12分） 解：（1）过点
做
于
，连结
，

当=1350时，直线
的斜率为-1，故直线
的方程x+y-1=0，

∴OG=d=
， （2分）

又∵r=
,∴
，

∴
， （4分）

（2）当弦
被平分时，
，此时KOP=
， （6分）

∴
的点斜式方程为
. （8分）

（3）设
的中点为
，
的斜率为K，
，

则
,

消去K，得：
，当
的斜率K不存在时也成立，故过点的弦的中点的轨迹方程为：
. （12分）

20、（本题12分）

(1)证明:连接
,设
与
相交于点
,连接
,

∵ 四边形
是平行四边形, ∴点
为
的中点.

∵为
的中点，∴
为△
的中位线,∴
.… 3分

∵
平面
,
平面
,∴
平面
. … 6分

(2) ∵
平面
,
平面
,∴ 平面
平面
，且平面

平面

.作
，垂足为，则
平面
， （ 8分）

∵
，
，在Rt△
中，
，
， （10分）

∴四棱锥
的体积
（10分）

.∴四棱锥
的体积为
. （12分）

21、（本题12分） （1）
，

函数
在
上为增函数，
对任意
恒成立.
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立.
时，
，所求正实数的取值范围是
; (6分)

（2）当a=1时，
，所以f(x)在[1, ＋∞]上增函数，当n＞1时，令
，则当x＞1时，f(x) ＞f(1)=0，所以
，即
，
，所以
,得
，即对于任意大于1的正整数，都有
(12分)

22、（本题12分）（1）椭圆：
的离心率为
，则
，

不妨设
，由
得，
，

把
代入双曲线方程得
，解得
，

所以椭圆方程为
．所以双曲线的方程为
．（4分）

（2）设
点的坐标分别为
，不妨设
，内切圆半径．

所以
的周长是， 所以
，

所以当圆的半径最大时，面积最大，即
，

设直线的方程为
，

，消去得
，（8分）

解得
，
，所以
，

不妨设
，于是
，

因为
在
上单调递增，所以
，

所以
，即
，所求的内切圆的面积的最大值为
，

故直线
与椭圆交于两点
使得
的内切圆的面积最大，最大值为
．

所以
，所以
，即
，

故
的面积为
．（12分）