2014-2015学年下期高二第二次精英对抗赛理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）

1.已知
为虚数单位，复数
，则复数的共轭复数的虚部为B

A.
B.
C.
D.

2.已知a1、a2∈(1，＋∞)，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　B　)

A．P>Q　　　　 B．P

3.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(C　　)

A．9 B．10 C．18 D．20

4.已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图，则有A

A．
B．

C．
D．

5.设随机变量ξ～B(2，p)，η＝2ξ－1，若P(η≥1)＝，则E(ξ)＝(　C　)

A. B. C. D.

6.△ABC满足·＝2，∠BAC＝30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)＝(x，y，z)，其中x、y、z分别表示△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(M)＝(x，y，)，则＋的最小值为(　C　)

A．9　　 B．8　　　　 C．18　　 　 D．16

7. 观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，… 所得的结果都是24的倍数，由此推测可有C

A．其中包含等式：152－1＝224 B．一般式是：(2n＋3)2－1＝4(n＋1)(n＋2)

C．其中包含等式1012－1＝10 200 D．24的倍数加1必是某一质数的完全平方

8.定积分
等于A

A．
B．
C．
D．

9.设函数
，则函数
各极小值点之和为A

A．
B．
C．
D．

10.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有D

A．
种 B．
种 C．
种 D．
种

11.已知函数
，存在实数
，使
的图象与
的图象无公共点，则实数
的取值范围D

A．
B．
C．
D．

12.定义在R上的可导函数
，当
时，
恒成立，
，
,
则a，b，c的大小关系为（A　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）

13.
的展开式中
的系数是 -10 .

14.函数
存在单调递减区间，则a的取值范围是

15.若
，则
等于10　　．

16.给出下列命题：

①用反证法证明命题“设
为实数，且
则
”时，要给出的假设是：
都不是正数；

②若函数
在
处取得极大值，则
；

③用数学归纳法证明
，在验证
成立时，不等式的左边是
；

④数列{an}的前n项和Sn=3n－c，则c=1是数列{an}成等比数列的充分必要条件；

上述命题中，所有正确命题的序号为 .

三．解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）若非零实数
满足
，且在二项式
（a>0，b>0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，

（I）求常数项是第几项；

（II）求
的取值范围．

18.（本小题满分12分）观察下表：

1，

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14,15，

……

问：（I）此表第n行的各个数之和是多少？

（II）2012是第几行的第几个数？

（III）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分10分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

（I）应收集多少位女生的样本数据？

（II）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

（III）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附： K2＝

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

6.635

7.879





（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为
，背诵错误的的概率为
，现记“该班级完成首背诵后总得分为
”.

（I） 求
且
的概率；

（II）记
，求
的分布列及数学期望.

21.（本小题满分12分）（本小题满分12分）设函数
．

(Ⅰ)当
时，求曲线
在
处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数
的单调性；

22. (本小题满分12分)

22.（本小题满分12分）已知函数

（I）当
时，求
的最小值；

（II）在区间
内任取两个实数
,若不等式

恒成立，求实数a的取值范围；

（III）求证：
...
<
（其中
）.

高二下期理科数学精英对抗赛

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

C

A

C

C

C

A

A

D

D

A





13. -10 14.(-1，0) 15.10 16.③④

17.(1)解：设
为常数项，

则可由
…………4分

解得 r=4，

所以常数项是第5项． ………………6分

（2）由只有常数项为最大项且a>0，b>0，

可得
…………10分

解得
…………12分

18.解：∵第n＋1行的第1个数是2n，

∴第n行的最后一个数是2n－1.

(1)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)

＝＝3·22n－3－2n－2.

(2)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，

∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．

(3)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.

则an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，

an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，

∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2，n＝5时，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.

∴存在n＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.

19.(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别列联表

男生

女生

总计



每周平均体育运动时间

不超过4小时

45

30

75



每周平均体育运动时间

超过4小时

165

60

225



总计

210

90

300



结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

20.当
时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分

若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分

若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，

此时的概率为：
………… …………5分

（2）∵
的取值为10，30，50，又
…………………6分

∴
,

…………………9分

∴
的分布列为：

10

30

50













∴
.…………………………………………12分

21.函数
的定义域为
，

(Ⅰ)当
时，
，

∴
在
处的切线方程为

(Ⅱ)
，
的定义域为

当
时，
，
的增区间为
，减区间为

当
时，

，
的增区间为
，减区间为
，

，
在
上单调递减

，

时，