一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．

1．已知集合
,集合
,则
（ ）

A．
B．{1} C．{－1} D．{－1,1}

2．命题“
”的否定是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%

B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%

C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%

D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%

4．已知为
等比数列，
是它的前项和.若
，且
与
的等差中项为
，则
的值为（ ） A.35 B.33 C.31 D.29

5．实数为区间
上的随机数，则关于的方程
有实根的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．已知点
的坐标满足条件
，那么
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知角是第二象限角,且
,
的图像关于直线
对称,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的

表面积是（单位
）（ ）

A．
B．
　　 C．
D．

9.下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中
为三个

评阅人对该题的独立评分，为该题的最终得分，当
时，
等于（ ）

A．11 B．10 C．8 D．7

10. 函数
的部分图象大致是（ ）

11. 已知定义在上的函数
的导函数为
，满足
，且
，则

不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知椭圆
，椭圆的中心为坐标原点
，点是椭圆的右焦点，点是椭圆短轴的一个端点，过点的直线
与椭圆交于
两点，与
所在直线交于点，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．

13．如图，在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，则复数
对应的点位于第　　象限．

14．已知抛物线
的焦点为F，其准线与轴相交于点K，直线
过焦点F且倾斜角为，则点K到直线
的距离为 ．

15.直三棱柱
的各顶点都在同一球面上，若
,
，则此球的表面积等于 ．

16．方程
的曲线即为函数
的图像，对于函数
，下列命题中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号）

①函数
在上是单调递减函数； ②函数
的值域是；

③函数
的图像不经过第一象限； ④函数
的图像关于直线
对称；

⑤函数
至少存在一个零点

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17．（本小题满分12分）在
中，

（1）求
的值； （2）求
的值.

18．（本小题满分
分）

某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．

（Ⅰ）估计成绩在80分以上学生的比例；

（Ⅱ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．

19．（本小题满分12分）已知四棱锥
的底面为菱形，且
，

,
为
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求点到面
的距离．

20．（本小题满分
分）

如图，已知圆：
，点
，是圆上任意一点．线段
的垂直平分线和半径
相交于
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知
是轨迹的三个动点，与关于原点对称，且
，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点
的坐标，若不存在，请说明理由．

（本小题满分
分）

已知
，函数
，
（其中为自然对数的底数）．

（1）判断函数
在区间
上的单调性；

（2）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与轴垂直?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．

如图，PA为圆
的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：

(Ⅰ)圆
的半径；

(Ⅱ)
的值．

23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

在直 角 坐 标 系xOy中，曲线
的参数方程为
（为参 数)，以 原点O为 极 点，以x轴 正 半 轴为 极 轴，建立极 坐 标 系，曲线
的极坐标方程为

(1) 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程;

(2) 设P为曲线
上的 动 点，求 点P到
上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.



19解：（I）证明：连接


为等腰直角三角形
为
的中点

……………………2分

又

是等边三角形

，………………………………4分

又

，即

……………………6分

（II）设点到面
的距离为


…………8分

,到面
的距离

………………………………10分

点到面
的距离为
……………………12分

20解：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4
，

故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分

设其方程为
，可知
，
，则
， 3分

所以点Q的轨迹的方程为为
． 4分

（Ⅱ）存在最小值． 5分

（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则
． 6分

（ⅱ）方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为
，设点
，

联立方程组
消去y得
，
，

由
，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为
，同理可得点C的坐标满足
，
，则
，
，……8分

则
． 9分

由于
，

所以
，当且仅当
，即
时取等号．

综合（ⅰ）（ⅱ），当
时，△ABC的面积取最小值
， 11分

此时
，
，即
，
，

所以点C的坐标为
，
，
，
． 12分

方法二、前同（ⅰ），记
，则
，所以
，

故
，

当
，即
时，
有最大值
，此时
取得最小值
．

综合（ⅰ）（ⅱ），当
时，△ABC的面积取得最小值
． 11分

此时
，
，即
，
，

所以点C的坐标为
，
，
，
． 12分

2

当
，
，
，∴
．

曲线
在点
处的切线与轴垂直等价于方程
有实数解．

而
，即方程
无实数解．

故不存在
，使曲线
在
处的切线与轴垂直……12分