望江四中2014届高三上学期第一次月考

数学（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题时120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）

1.若集合
,
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．设
是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知
为等差数列，若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　　）

A．
B．
C．
D．

5. 已知函数
有且仅有两个不同的零点
，
，则（　　）

A．当
时，
，
B．当
时，
，

C．当
时，
，
D．当
时，
，

6. 函数
的最小正周期是（　　）

A．
B．
C．2π D．4π

7.函数
的零点所在的区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．设集合
是
的子集，如果点
满足：
，称
为集合
的聚点.则下列集合中以
为聚点的有：
； ②
； ③
； ④
（　　）

A．①④ B．②③ C．①② D．①②④

9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（　　）

A．12种 B．15种 C．17种 D．19种

10．已知函数
,定义函数
给出下列命题:

①
; ②函数
是奇函数;③当
时,若
,
,总有
成立,其中所有正确命题的序号是（　　）

A．② B．①② C．③ D．②③

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11．函数
的定义域为 。

12.数列
的通项公式
，其前
项和为
，则
．

13.连掷两次骰子得到的点数分别为
和
,若记向量
与向量
的夹角为
,则
为锐角的概率是 .

14．函数
在
上恒为正，则实数
的取值范围是 ．

15. 定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称
为“等比函数”。现有定义在
上的如下函数：①
；②
；③
；④
，则其中是“等比函数”的
的序号为 　 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）

16．（本小题共12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
.

①
；

②
；

③
；

④
；

⑤
.

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数
；

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17．（本小题共12分）已知函数
。

（1）当
时，求该函数的值域；

（2）若
对于
恒成立，求
有取值范围。

18．（本小题共12分）如图,四棱锥
的底面
是正方形,棱
底面
,
,
是
的中点．

(1)证明
平面
；

(2)证明平面
平面
.

19．（本小题共12分）

已知函数

(1)若
求
在
处的切线方程;

(2)若
在区间
上恰有两个零点,求
的取值范围.

20．（本小题13分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）与圆
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足

，求
的取值范围.

21．（本小题14分）已知函数
(
).

(1)当
时,求函数
的单调区间;

(2)当
时,
取得极值，求函数
在

上的最小值;

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1～5 ACDCB 6～10 BDACD

1.【 解析】A 集合

,

,所以

.

2.【 解析】C 若复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数，则
，所以“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的充要条件。

3.【 解析】D 因为a1+a5+a9=8
，所以
，所以
，所以
。

4.

5.

6.【 解析】B 函数
,所以周期为
.

7

8

9.【 解析】D.分三类：第一类，有一次取到3号球，共有
取法；第二类，有两次取到3号球，共有
取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。

10.

所以
，于是
。

13.【 解析】 连掷两次骰子得到的点数记为
，其结果有36种情况，若向量
与向量
的夹角
为锐角，则
，满足这个条件的有6种情况，所以
为锐角的概率是
。

14．【解析】当
时，函数
在
上为减函数，
不合题意；当
时，由题意得
在
上恒成立，即
在
上恒成立。函数
在
上是增函数，它的最小值为
，要使
在
上恒成立，只需
。综上，实数
的取值范围是

15

三、解答题（本大题共6
小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）

16．解:(1)选择②式计算

.

(2)猜想的三角恒等式为

.

证明：

.

17．解: （1）令
时，

（2）
即
对
恒成立，

所以
对
恒成立，

易知函数
在
上的最小值为0.

故

18．证明:(1)连结
,设
与
交于
点,连结
.

∵底面ABCD是正方形,∴
为
的中点,又
为
的中点,

∴
, ∵
平面
,
平面
,

∴
平面
.

(2)∵
,
是
的中点, ∴
.

∵
底面
,∴
.又由于
,
,故
底面
,

所以有
.又由题意得
,故
.

于是,由
,
,
可得
底面
.

故可得平面
平面
.

19．解: (1)

在
处的切线方程为

(2)由

由
及定义域为
,令

①若
在
上,
,
在
上单调递增,

因此,
在区间
的最小值为
.

②若
在
上,
,
单调递减;在
上,
,
单调递增,因此
在区间
上的最小值为

③若
在
上,
,
在
上单调递减,

因此,
在区间
上的最小值为
.

综上,当
时,
;当
时,
;

当
时,

可知当
或
时,
在
上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.

当
时,要使
在区间
上恰有两个零点,则

∴
即
,此时,
.

所以,
的取值范围为

20．解: (1) 设抛物线方程为
，

由已知得：
所以

所以抛物线的标准方程为

(2) 因为直线与圆相切，

所以

把直线方程代入抛物线方程并整理得：

由

得
或

设
，

则