四川省雅安中学高2011级高三入学模拟

数学（文）试题

（命题人：冉素贞 审题人：郑万勇）

本试题卷分第Ⅰ卷和第II卷 两部分，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题（共10小题,50分）

1．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（　　）

A．

y=x﹣1

B．

y=x﹣2

C．

y=x2

D．





2．复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数
为（　　）

A．

2+i

B．

2﹣i

C．

5﹣i

D．

5+i



3．圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心到直线x﹣y=1的距离为：（　　）

A．

2

B．



C．

1

D．





4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　）

A．31

B．

30

C．

25



D．

61



5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

甲

乙

丙

丁



平均环数

8.6

8.9

8.9

8.2



方差s2

3.5

3.5

2.1

5.6



从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（　　）

A．

甲

B．

乙

C．

丙

D．

丁



6．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（　　）

A．

0.2

B．

0.5

C．

0.4

D．

0.6



7．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　）

A．

﹣4

B．

﹣7

C．

1

D．

2



8．函数f（x）=
的定义域为（　　）

A.( - 3, 0] B.（ - 3, 1]

C. （﹣∞, ﹣3）∪（﹣3.0） D. （﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．

直角三角形

B．

锐角三角形

C．

钝角三角形

D．

不确定



10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）

A．



B．



C．

4

D．





　第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题（共5小题,25分）

11．若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则
的最大值为

　12．已知向量
，
．若
，则实数 k=

　13．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线
的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为

　14．已知命题p：“?x∈[1，2]，使x2﹣a＜0成立”，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是

15．已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的
，则其体积缩小到原来的
；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x+y+1=0与圆
相切．

其中真命题的序号是

三．解答题（共6小题，75）

16．（12分）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在
时取得最大值4．

（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的解析式；

（3）若
，求sinα．

17．（12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．

（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；

（2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．

18．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

20．（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．

（1） 求动点M的轨迹C的方程；

（2） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

21．（14分）已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．

参考答案

一．选择题 （每小题5分，共50分）BCDAC CBAAD

二．填空题（共5小题）

11．
． 12．k=
． 13.
. 14．　a≤1　． 15. ①③

三．解答题（共6小题）

16．（2010

广东）解：（1）由周期计算公式，可得T=
（3分）

（2）由f（x）的最大值是4知，A=4

，即sin（
）=1

∵0＜ρ＜π，∴
∴
，∴

∴f（x）=4sin（3x+
）(7分)

（3）f（
）=4sin[3（
）+
]=
，即sin[3（
）+
]=

，
，
，
，
．（12分）









　17．（2013?



重庆)解：（Ⅰ）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

故可得an=1×3n﹣1=3n﹣1，

由求和公式可得Sn=
=
；(6分)

（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，

设数列{bn}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5

故T20=20×3+
=1010（12分）





18．（2013?

资阳一模）解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，

又a＞0，所以a＜x＜3a，

当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（2分）

由

得

解得2＜x≤3，

即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）

若p∧q为真，则p真且q真，

所以实数x的取值范围是（2，3）．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，

则?p：x≤a或x≥3a，（8分）

q：2＜x≤3，则?q：x≤2或x＞3，（10分）

?p是?q的充分不必要条件，则?p??q，且?q??p，

∴

解得1＜a≤2，

故实数a的取值范围是（1，2]．（12分）



19．（2006?上海）

解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°．

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO，

于是，PO=BOtan60°=
，而底面菱形的面积为2
．

∴四棱锥P﹣ABCD的体积V=
×2
×
=2．（6分）

（2）

取AB的中点F，连接EF、DF．

由E是PB的中点，得EF∥PA，

∴∠FED是异面直线DE与PA所成

角（或它的补角），

在Rt△AOB中AO=ABcos30°=
=OP，

于是，在等腰Rt△POA中，

PA=
，则EF=
．

在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=
，

cos∠FED=
=

20．（2013?

陕西）解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则

|x﹣4|=2
，即（x﹣4）2=4[（x﹣1）2+y2]，

整理得
．

所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为
；（5分）

（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．

椭圆的上下顶点坐标分别是
和
，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．

设直线m的方程为：y=kx+3．

联立
，

整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．

．

因为2x1=x2．

则
，得
，

所以
．

即
，解得
．

所以，直线m的斜率
．（13分）





∴异面直线DE与PA所成角的余弦是
（12分）

　21、（2013浙江）解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；（4分）（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，

x

0

（0，1）

1

（1，a）

a

（a，2a）

2a



f′（x）



+

0

-

0

+





f（x）

0

单调递增

极大值3a-1

单调递减

极小值a2（3-a）

单调递增

4a3





{

0，1＜a≤3



a2(3?a)，a＞3







比较f（0）=0和f（a）=a2（3-a）的大小可得g（a）=

（9分）；

当a＜-1时，

X

0

（0，1）

1

（1，-2a）

-2a



f′x）



-

0

+





f（x）

0

单调递减

极小值3a-1

单调递增

-28a3-24a2





3a?1，a＜?1





0，1＜a≤3





a2(3?a)，a＞3



∴g（a）=3a-1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=

（14分）