湛江市第二中学2014届高三理科数学月考试题

2013年8月27日

（本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟）

命题人：彭庆华 审题人：周秋华

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.已知集合
，
，且
都是全集
的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
为正实数,则( )

A．
B．

C．
D．

3．函数
的大致图象是（ ）

4. 若0

A．
B．
C．
D.

5. 已知函数
, 则
的值是

A．
B．
C．
D．

6.根据表格中的数据，可以判定函数
有一个零点所在的区间为
(k∈N*)，则k的值为（ ）

1

2

3

4

5





0

0．69

1．10

1．39

1．61





A．5 B．4 C．3 D．2

7．已知集合
,
,则“
”是“
”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

8.定义在R上的偶函数
在
上递减，
，则满足
＞0的
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 若幂函数
的图像经过点
,则
= 。

10.函数
是奇函数的充要条件是a= 。

11．已知一元二次不等式
的解集为
,则
的解集为 。

12. 已知集合
，集合
，命题p：
，命题q：
，若
q的必要不充分条件是
p，则实数a的取值范围是 。

13.定义在R上的偶函数
满足
，且在[-1,0]上是增函数，给出下列关于
的判断：①
是周期函数； ②
关于直线x=1对称；③
在[0,1]是增函数； ④
在[1,2]是减函数；⑤
=
。其中正确的判断的序号是 。

（二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分）

14.（坐
标系与参数方程选做题）设
分别为直线
为参数）和曲线
：
上的点，则
的最小值为 。

15.（几何证明选讲选做题）已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ 。

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16.（本小题满分12分）

设函数
.

(1)求
的值域；

(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若
，b＝1，c＝，求a的值。

17. （本小题满分12分）

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望。

18．(本题满分14分)

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，
，
,现将梯形沿CB、DA折起，使
且
，得一简单几何体
（如图（2）），已知
分别为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：

；

（3）当
多长时，平面
与平面

所成的锐二面角为
？

图（1） 图（2）

19.(本题满分14分)

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度
（单位：千克/年）是养殖密度
（单位：尾/立方米）的函数．当
不超过4（尾/立方米）时，
的值为
（千克/年）；当
时，
是
的一次函数；当
达到
（尾/立方米）时，因缺氧等原因，
的值为
（千克/年）．

（1）当
时，求函数
的表达式；

（2）当养殖密度
为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）
可以达到最大，并求出最大值。

20．(本题满分14分)

如图所示，椭圆
的离心率为
，且A（0，2）是椭圆C的顶点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点A作斜率为1的直线
，设以椭圆C的右焦点F为抛物线
的焦点，若点M为抛物线E上任意一点，求点M到直线
距离的最小值。

21. （本小题满分14分）

已知函数
.若函数
满足下列条件：

①
；②对一切实数
，不等式
恒成立。

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）若
对
,
恒成立,求实数
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
。

湛江市第二中学2014届高三理科数学月考试题

参考答案与评分标准

命题人：彭庆华 审题人：周秋华

2013年8月27日

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

B D B C A C A B

二．填空题：共6小题，其中14、15题选做一题，两题都做只计第一题得分，每小题5分，满分30分

9．
10. 1 11．
12.
13. ①②⑤ 14. 4 15.

三.解答题

16．解:(1)f(x)＝cos xcos π－sin x·sinπ＋cos x＋1

＝－cos x－sin x＋cos x＋1

＝cos x－sin x＋1

＝cos＋1， ………………………4分

因为
，所以f(x)的值域为[0,2]． ……………………6分

(2)由f(B)＝1得cos＋1＝1，即cos＝0，

又因0

法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2. ………………12分

法二　由正弦定理＝，得 sin C＝，C＝或.

当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝π时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1.

故a的值为1或2. ……………12分

17．解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ……………2分

（2）由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人。

设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
……………6分

（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为
，

故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率
.…………………7分

的可能取值为0,1,2,3高.考.资.源+网 …………………8分 高.考.资.源+网
；

；

所以
的分布列为

























. ……………………12分

另解：由题可知
， 所以
=
.

18.（1）证明：连
，∵四边形
是矩形，
为
中点，

∴
为
中点， ……………………1分

在
中，
为
中点，故
……………………3分

∵
平面
，
平面
，
平面
； ……………4分

（2）证明：依题意知
且
∴
平面

∵
平面
，∴
，……………………………………5分

∵
为
中点，∴
结合
，知四边形
是平行四边形

∴
，
……………………………………………………7分

而
，∴
∴
，即
…………8分

又
∴
平面
，

∵
平面
， ∴

. ………………9分

（3）解法一：如图，分别以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系

设
，则

易知平面
的一个法向量为
，

设平面
的一个法向量为
，则
故
，即

令
，则
，故
………………………………………………11分

∴
，依题意，
，
， ……13分

即
时，平面
与平面
所成的锐二面角为