耒阳二中2014届第一次月考理科数学试题

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的）.

1、设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩（
）＝

A、（1,4）　　B、（3,4）　　C、（1,3）　D、（1,2）∪（3,4）

2、下列命题中，真命题的是

A、
，
＜0　　　　　　　　　　B、
，

C、“a＋b＝0”的充要条件是“
＝－1”　D、“a＞1，b＞1”是“ab＞1“的充分条件

3.已知
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4．执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）

A.5 B.9 C.17 D.33

5.已知公比不为1的等比数列
的首项为1，若
成等差数列，则数列
的前5项和为( )

A.  B.  C. 121 D. 31

6、函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中m，n＞0)，则
的最小值等于( )

A．16 B．12 C．9 D．8

7、已知函数y＝sinax＋b（a＞0）的图象如图所示，则函数
的图象可能是

8、设函数f（x）（x
R）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x
［0,1］时，f（x）＝x2，又函数g（x）＝｜xcos（
x）｜，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在
上的零点个数为　　A、5　　B、6　　C、7　　D、8

二、填空题（35分）

9、设a，b
R，a＋bi＝
（i为虚数单位），则a＋b＝＿＿＿＿＿

10.已知
，
，
，则
与
的夹角
为

11、已知曲线y＝3x2＋2x在点(1，5)处的切线与直线2ax－y－6＝0平行，

则a＝ ．

12．已知：tan
，则
＝＿＿

13.设a＞0.若曲线
与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=____

14. 已知
,数列
的前n项和为
，数列
的通项公式为
,则
的最小值为

15、如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)，

(16，24，20，14，9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，

（1）、第7群中的第2项是： ；

（2）、第n群中n个数的和是：

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

16．(本小题满分12分)已知a＝(sinx，－cosx)，
，函数
．（1）求f(x)的最小正周期；（2）当
时，求函数f(x)的值域．

17、（本小题满分12分）

递增的等比数列{
}的前n项和为Sn，且

（I）求数列{
}的通项公式。

（II）若
＝

，数列{
}的前n项和为Tn，求
成立的最小正整数n的值。

18．（本小题满分12分）

已知函数



．

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围．

19．(本小题满分13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．

（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；

（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

20、（本小题满分13分）

已知函数f（x）＝a（lnx－x）（a
R）。

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（II）若函数y＝f（x）的　图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数

g（x）＝
在区间（2,3）上总存在极值，求实数m的取值范围。

21．(本小题满分13分)已知f(x)＝lnx－ax2－bx．

（1）若a＝－1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（2）f(x)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)( x1＜x2)两点，AB中点为C(x0，0)，求证：f ′(x0)＜0．

耒阳二中2014届第一次月考理科数学答卷

时间：120分钟 总分：150分

一。选择题（每小题5分，8小题，共4０分）

题号

１

２

３

４

５

６

７

８



答案

B

D

D

D

A

D

C

B





二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）

9、 8 １０、　　　
π　　　　　　１１、　　4　　　　

１２、　　　3　　　　　　 １３、　
　　　　　

1４、　　　
　　　　　　　 １５、　　　96　　　　　　　3·2n－2n－3

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

解：（1）∵
………………1分

………………3分

． ………………5分

∴函数f(x)的最小正周期为π． ………………6分

（2）∵
，∴
，………………8分

∴
， ………………11分

即
≦f(x)≦1 f(x)的值域:[
,1] ………………12分

　　　　　　　　　　　　　　　 座位号：

１７、（１2分）　　

.解析：（Ⅰ）

，………………………………2分

∵数列
递增，∴

，∴
…………………………………5分

（Ⅱ）
,

设
…………..①

………..②

①-②得:
,

,………………………………………………………..10分

，即
,

∴正整数
的最小值是5…………………………………………………12分

１８、（１2分）

１９、（１3分）

解析：（1）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，

依题意，{an}是首项为128，公比为
的的等比数列，

{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．

{an}的前n项和
，

{bn}的前n项和
．

所以经过n年，该市更换的公交车总数为

． …………7分

（2）若计划7年内完成全部更换，所以S(7)≥10000，

所以
，即21a≥3082，所以
．

又a∈N*，所以a的最小值为147．…………13分

２０、（１３分）

解析：（Ⅰ）易知
的定义域为

.………………………1分

当
时,令
即
解得增区间为
.同理减区间为(0,1);

当
时,令
即
解得增区间为(0,1).同理减区间为
;

当
时,
不是单调函数. 　…………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
的图像在点
处的切线的倾斜角为45°，

∴
……………………………………7分

……………………………9分

,

要使函数
在区间（2，3）上总存在极值,只需

…………………………………………………13分

２１、（１3分）

解析：（1）依题意：f(x)＝lnx＋x2－bx．

∵f(x)在(0，＋∞)上递增，∴
对x∈(0，＋∞)恒成立，

即
对x∈(0，＋∞)恒成立，只需
． …………4分

∵x＞0，∴
，当且仅当
时取“＝”，

∴≦，∴b的取值范围为
． ………………6分

（2）由已知得
，

两式相减，得

．…………10分

由
及2x0＝x1＋x2，得

令
．

∵
，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0．

∵x1＜x2，∴f ′(x0)＜0． …………13分