高三暑期阶段性考试

理科数学

命题人 张子文 2013-7-27

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.)

1．命题p：
，则命题p 的否定为（ ）

A．
B．

C．
D．

2. 设全集

，

则右图中阴影部分表示的集合为 ( 　 )

A．
B．
C．
D．

3.复数
满足：
；则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 若集合M={x| x2+2x-8=0}，N={x| kx+2=0}，且N
M，则k的可能值组成的集合为( )

A．
B．
C．
D．

5. “
是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知
且
，则
的最小值为（ ）

A．
B.
C.
D.

7．若
,则函数
的最大值为（　　）

A．
B．2
C．
D．

8．曲线
（t为参数）上的点与A（-2，3）的距离为
，则该点坐标是（ ）

A．（-4，5） B．（-3，4）或（-1，2） C．（-3，4） D．（-4，5）或（0，1）

9．设
，则任取
，关于
的方程
有实根的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义在(0，)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且恒有f(x)＜f′(x)·tanx成立， 则

（A）f()＞f() （B）f()＜f()

（C）f()＞f() （D）f()＜f()

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11、已知圆
cos
与直线
cos

sin
a=0相切,

则实数a的值是__________.

12. 设
，若不等式
对任意实数
恒成立，则
的取值集合是_______________________.

13．
表示不超过
的最大整数.

那么
.

14．直线
与
都经过原点
，
与
分别交椭圆
于
与
，且

，则四边形
的面积的取值范围是___________________________

15．已知直角三角形
的三内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且不等式

恒成立，则实数
的最大值是___________．

三、解答题：（共75分）

16.（.本小题满分12分）设p:实数x满足
, ,命题
实数
满足.|x-3|<1

(Ⅰ)若
且
为真，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)若其中
且
是

的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

17. （本小题满分12分）

已知曲线
，

（1）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线

的距离的最小值。

18. （本小题满分12分）

已知a，b，c为实数，且

（I）求证：
（II）求实数m的取值范围。

19. （本小题满分12分）

20．(本小题满分13分）已知椭圆

.
与
有相同的离心率。过点
的直线
与
,
依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线
过
的上顶点时, 直线
的倾斜角为
.

求椭圆
的方程;

求证:
;

若
,求直线
的方程.

21．（本小题满分14分）设函数

（I）若对定义域的任意
，都有
成立，求实数b的值；

（II）若函数
在定义域上是单调函数，求实数
的取值范围；

（III）若
，证明对任意的正整数n，不等式
都成立.

高三暑期阶段性考试

理科数学参考答案

一、DBDAB ACBCD

二、11. -8或2， 12.
, 13.
, 14.
, 15.
.

三、16.解:1. 由
得
当
时，1<
,即
为真时实数
的取值范围是1<
.由|x-3|<1, 得-1

(Ⅱ) 由
得
，
是
的充分不必要条件，即


,且


, 设A=
,B=
,则


,

又A=
=
, B=
={x|x≥4或x≤2}，

则0<
,且3a≥4所以实数
的取值范围是4/3≤a≤2

17.（Ⅰ）
，

为圆心是（
，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当
时，
故

为直线
，

18.（I）由柯西不等式得

即

当且仅当
时取得等号，………………………6分

（II）由已知得

…………12分

19.

20．【解】(1)
,因此椭圆
的方程为
.

(2)方法（一）

当直线
垂直
轴时,易求得

因此
,

当直线
不垂直
轴时,设

由

①,

由

②,

设
,则
是方程①的解,
是方程②的解.
,
线段AB,CD的中点重合,

(3).由(2)知,
,当直线
垂直
轴时,不合要求;

当直线
不垂直
轴时,设
,由(2)知,

,
,

,化简可得:

,

方法（二）用直线的参数方程求解

21．解：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞).

对x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1).

∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0.

解得b= - 4. -----------------------4分

（2）∵
.

又函数f(x)在定义域上是单调函数 ∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

即b≥-2x2 -2x =
恒成立,由此得b≥
.

若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值.

∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立. 综上所述，实数b的取值范围是
. -----9分

（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)

令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3.则h/(x) = - 3x2 +2x -
.

∴当
时，h/(x)＜0所以函数h(x)在
上单调递减.

又h(0)=0，∴当
时，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.故当
时,有f(x) ＜x3.

∵
取
则有
＜
.

∴
.