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郑州市第四十七学2013—2014学年上期高三年级第一次月考试题（理科） 数 学 温馨提醒：请将答案写在答题卡上 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合B＝{y|y＝sin(x－1)}，则(?UA)∩B为 ( ) A．(，＋∞) B．(0，] C．[－1，] D． 3．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有 ( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 4．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是 ( ) A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0 B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为 ( ) A．(－∞，－2]∪(0,2] B．[－2,0]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,0)∪(0,2] 6．函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为 ( ) A．0 B. C．1 D. 7．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是 ( ) A．2－2 C．m<2＋2 D．m≥2＋2 8．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]， 则f(－1)的取值范围是 ( ) A．[－，3] B．[，6] C．[3,12] D．[－，12] 9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ( ) A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－ 10．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( ) 11.设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ） A． B． C． D． 12．奇函数f(x)、偶函数g(x)的图像分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b＝ ( ) A. 14 B. 10 C. 7 D. 3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．若函数的定义域是R, 则的取值范围是 14．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________． 15．如图，函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图像所围成的阴影部分的面积为，则k＝________. 16．函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足且的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．(本题满分12分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值． 19．(本小题满分12分)设集合A为函数y ＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数 y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集． (1) 求A∩B； (2) 若，求a的取值范围． 20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)． (1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在原点处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间． 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋2lnx. (1)求函数f(x)的最大值； (2)若函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点， ①求实数a的值； ②若对于?x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围． 高三第一次月考数学试题（理科）答案 一、选择题： CCADD BCCDB CB 二、填空题： 13. 14. 15. k=3 16.(-1,2] 三、解答题： 17.解：设……………2分 …………………………….4分 是的必要不充分条件，必要不充分条件，………………6分 ， 所以，又，……………………………………………8分 所以实数的取值范围是-∞，-4]. …………………………………………10分 18 解 (1)∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c. ∴c＝0，∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为， 因此，f′(1)＝3a＋b＝－6. ∴a＝2，b＝－12，c＝0. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 (2)单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)． f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 19、解：(1)由－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，又y＝x＋＝(x＋1)＋－1， 所以B＝(－∞，－3]∪ [1，＋∞)．所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．.。。。。6分 (2)因为?RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． 由(x＋4)≤0，知a≠0. ①当a>0时，由(x＋4)≤0，得C＝，不满足C??RA； ②当a<0时，由(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4)∪， 欲使C??RA，则≥2， 解得－≤a<0或0 综上所述，所求a的取值范围是.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 20解 （第一问4分，第二问8分 ）(1)方法一 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等号成立的条件是x＝e. 故g(x)的值域是[2e，＋∞)． 因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根． 方法二 作出g(x)＝x＋的图像如图． 可知若使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e. 方法三 解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根，故 等价于故m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点． 作出g(x)＝x＋(x>0)的图像． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2， 其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． ∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 21.解析 (1)当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝ 。。。。。。。。。。。。2分 由f′(0)＝2，得曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是2x－y＝0. 。。。。。。。。。。。。。。。。4分 (2)f′(x)＝. ①当a＝0时，f′(x)＝. 所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 当a≠0，f′(x)＝. ②当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝，f(x)与f′(x)的情况如下： x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) f(x1) f(x2) 故f(x)的单调减区间是(－∞，－a)，(，＋∞)；单调增区间是(－a，)．。。。。。。。。。。。。。8分 ③当a<0时，f(x)与f′(x)的情况如下： x (－∞，x2) x2 (x2，x1) x1 (x1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)[] f(x2) f(x1) 所以f(x)的单调增区间是(－∞，)，(－a，＋∞)；单调减区间是(，－a)．。。。。。。。。。。10分 综上，a>0时，f(x)在(－∞，－a)，(，＋∞)单调递减；在(－a，)单调递增． a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；在(－∞，0)单调递减． a<0时，f(x)在(－∞，)，(－a，＋∞)单调递增；在(，－a)单调递减．。。。。。。。。。。。。。。。。12分 22解 (1)f′(x)＝－2x＋＝－2 (x>0)， 由得0 ∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数． ∴函数f(x)的最大值为f(1)＝－1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 (2)∵g(x)＝x＋，∴g′(x)＝1－. ①由(1)知，x＝1是函数f(x)的极值点． 又∵函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点， ∴x＝1是函数g(x)的极值点． ∴g′(1)＝1－a＝0，解得a＝1. 经检验，当a＝1时，函数g(x)取到极小值，符合题意．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ②∵f()＝－－2，f(1)＝－1，f(3)＝－9＋2ln3， ∵－9＋2ln3<－－2<－1，即f(3) ∴?x1∈， f(x1)min＝f(3)＝－9＋2ln3，f(x1)max＝f(1)＝－1. 由①知g(x)＝x＋，∴g′(x)＝1－. 故g(x)在时，g′(x)<0；当x∈(1,3]时，g′(x)>0. 故g(x)在上为减函数，在(1,3]上为增函数． ∵g()＝e＋，g(1)＝2，g(3)＝3＋＝， 而2 ∴?x2∈，g(x2)min＝g(1)＝2，g(x2)max＝g(3)＝. 当k－1>0，即k>1时， 对于?x1，x2∈，不等式≤1恒成立 ?k－1≥[f(x1)－g(x2)]max?k≥[f(x1)－g(x2)]max＋1. ∵f(x1)－g(x2)≤f(1)－g(1)＝－1－2＝－3， ∴k≥－3＋1＝－2，又∵k>1，∴k>1. 当k－1<0，即k<1时， 对于?x1，x2∈，不等式≤1恒成立 ?k－1≤[f(x1)－g(x2)]min?k≤[f(x1)－g(x2)]min＋1. ∵f(x1)－g(x2)≥f(3)－g(3)＝－9＋2ln3－＝－＋2ln3， ∴k≤－＋2ln3. 又∵k<1，∴k≤－＋2ln3. 综上，所求的实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．。。。。。。。。。。。。。。12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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