江西师大附中高三年级开学考试数学（理）试卷

命题人：占华平　　审题人：朱涤非　　　　　　　　　　2013.8

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数
，则复数
的共轭复数
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．有以下命题：

（1）命题“存在
，使
”的否定是：“对任意的
，都有
”；

（2）已知随机变量
服从正态分布
，
，则
；

（3）函数
的零点在区间
内．其中正确的命题的个数为（ ）

A．3个　　　　 B．2个　　　 C．1个　　　 D．0个

4．已知函数
，将
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，则函数
的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D．

5．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．如右图所示，
是圆
上的三点，
的延长线与线段

交于圆内一点
，若
，则( )

A．
B．
C．
D．

7．设
是公比为
的等比数列，令
，若数列
的连续四项在集合
中，则
等于( )

A．
B．
C．
或
D．
或

8．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（　 ）

A．
B．
　　　　　 C．
　　　　　 D．

9．已知
，若
恒成立， 则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．抛物线
（
＞
）的焦点为
，已知点
，
为抛物线上的两个动点，且满足
．过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为（ ）

A．2 B．
C．1 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11．
的展开式中各项系数的和为243，

则该展开式中常数项为______．

12．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，

则该四棱锥的表面积为 ．

13．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：

，
，
，
；
，
，
；

，
；按此规律，
的分解式中的第三个数为 ____ ．

14．已知函数
，则方程
（
为正实数）的实数根最多有______个．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分

15．（1）已知圆
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，
轴正半轴为

极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
,(
)则直线
与圆
的交点的极坐标为______________．

15．（2）已知
，若
的零点个数不为
，则
的最小值为 ．

四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在
中，角
对的边分别为
，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，求
的面积
．

17．（本小题满分12分）

某游乐场有
、
两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏
，丙丁两人各自独立进行游戏
．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为
，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为
．

（1）求游戏
被闯关成功的人数多于游戏
被闯关成功的人数的概率；

（2）记游戏
、
被闯关总人数为X，求X的分布列和期望．

18．（本小题满分12分）

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列
的集合：①对任意
，
恒成立；②对任意
，存在与n无关的常数M，使
恒成立．

（1）若
是等差数列，
是其前n项和，且
试探究数列
与集合W之间的关系；

（2）设数列
的通项公式为
，且
，求M的取值范围．

19．（本小题满分12分）

直四棱柱
中，底面
为菱形，且
为
延长线上的一点，
面
．

(1)求二面角
的大小；

(2)在
上是否存在一点
，使
面
？

若存在，求
的值;不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线
与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设
．

(1)若
对一切
恒成立，求
的最大值．

（2）设
，且
是曲线
上任意两点，若对任意的
，直线AB的斜率恒大于常数
，求
的取值范围；

（3）求证：
．

江西师大附中高三年级开学考试数学（理）答题卷

2013.8

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（每小题5分,共25分）

11．_____________________　 12．_____________________　13．_____________________　 14．_____________________　

15．（1）__________________________　 （2）__________________

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(12分)

17.(12分)

18.(12分)

19.(12分)

20.(13分)

21.(14分)

江西师大附中高三数学(理)入学考试卷答案2013．8

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

A

B

A

C

B

C

C

B

C

D



二、填空题（共5小题，每小题5分,共25分）

11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15．（1）
，（2）
．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．）

16． (本小题满分12分)

解：（1）由正弦定理可设
，

所以
，

所以
． …………………6分

（2）由余弦定理得
，即
，

又
，所以
，解得
或
（舍去），

所以
．…………………12分

17．（本小题满分12分）

解：(1)

（2）X可取0，1，2，3，4

，

，

，

，

X的分布列为：

X

0

1

2

3

4



P













∴
．

18．(本小题满分12分)

解：(1)设等差数列
的公差是
，则

解得
………1分

∴

∴

∴
，适合条件①………3分

又
，

∴当
或
时，
取得最大值20，即
，适合条件②．……5分

综上，
………6分

（2）∵
，

∴当
时，
，此时，数列
单调递减；………9分

当
时，
，即
，………10分

因此，数列
中的最大项是
，………11分

∴
，即M的取值范围是
．………12分

19．（本小题满分12分）

解：(1)设
与
交于
，如图所示建立空间直角坐标系
，

设
，则

设
则

平面
，∴
，

即
……………………2分

设平面
的法向量为
，则由
，得
，

令
，
平面
的一个法向量为

又平面
的法向量为

二面角
大小为
……………………………………………6分

(2)设
得

…10分

面

∴存在点
使
面
此时
……………………12分

20．(本小题满分13分)

解：(1)由题意知
，∴
，即
又
，∴
故椭圆的方程为
5分

(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为
由
得：
6分

由
得：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
① 8分

∴
∴
10分

∵
，∴
，∴
∴
的取值范围是
13分

21．（本小题满分14分）

解：（1）∵
，∴
，

∵
，
的解为
，

∴
，

∵
对一切x∈R恒成立，∴
，∴