扬州中学2013—2014学年高三开学检测

数 学 试 卷 2013.8

一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1．在复平面内，复数
（其中
为虚数单位）对应的点位于第 ▲ 象限．

2．已知集合
，
，如果
，则
▲ ．

3．已知
，
，则
▲ ．

4．设等比数列
的各项均为正数，其前
项和为
．若
，
，
，则
___▲___．

5．设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列正确命题的序号

是 ▲ ．

①.若
，
， 则
； ②.若
，
， 则
；

③.若
，
，则
； ④.若
，
，则
．

6．根据如图所示的伪代码，最后输出的
的值为 ▲ ．

7．已知正方形
的边长为1，若点
是
边上

的动点，则
的最大值为 ▲ .

8．已知
＝
，
，若向区域
上随机投掷一点
，则点
落入区域
的概率为 ▲ ．

9．函数
的

部分图像如图所示，则将
的图象向右平移
个

单位后，得到的图像解析式为____▲____．

10．已知
，且
，
，则
___▲___．

11．求“方程
的解”有如下解题思路：设
，则
在
上单调递减，且
，所以原方程有唯一解
．类比上述解题思路，方程
的解集为　 ▲ 　．

12．已知实数
，直线
与抛物线
和圆
从左到右的交点依次为
则
的值为 ▲ ．

13．设函数
，函数
的零点个数为　 ▲ 　．

14．设实数
均不小于1，且
，则

的最小值是　 ▲ 　．（
是指
、
、
、
四个数中最大的一个）

二．解答题：（本大题共6小题，计90分）

15．（本小题满分14分）

在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，且

．

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若
，
，
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；

（II）求三棱锥P﹣ACE的体积．

17．（本小题满分15分）

某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折

后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率＝
．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．

（Ⅰ）写出当x∈
时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；

（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于
？

18．（本小题满分15分）

如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点
，直线
与直线
分别交于点
，

（Ⅰ）设直线
的斜率分别为
、
，求证：
为定值；

（Ⅱ）求线段
的长的最小值；

（Ⅲ）当点
运动时，以
为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

19．（本小题满分16分）

已知
，
是实数，函数
，
，
和
分别是

，
的导函数，若
在区间
上恒成立，则称
和
在区间
上单调性一致．

（Ⅰ）设
，若函数
和
在区间
上单调性一致，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
且
，若函数
和
在以
，
为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值．

20．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个无穷数列
、
满足
．

（Ⅰ）当数列
是常数列（各项都相等的数列），且
时，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
、
都是公差不为0的等差数列，求证：数列
有无穷多个，而数列
惟一确定；

（Ⅲ）设
，
，求证：
．

高三数学开学检测答题纸

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩

1． 2． 3． 4． 5．

6． 7． 8． 9． 10．

11． 12． 13． 14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15．解：

16．解：

17．解：

18．解：

19．解：

（20题做在反面）

数学附加题

1．（本小题满分10分）

求
展开式中的常数项．

2．（本小题满分10分）

某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

3．（本小题满分10分）

如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB

于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．

（Ⅰ）求证：PB⊥DE；

（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．

4．（本小题满分10分）

数列
的前
项组成集合
，从集合
中任取
（
，2，3，…，
）个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如：当
时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）猜想
，并用数学归纳法证明．

高三数学开学检测参考答案 2013.8

1．一 2．1 3．
4．6 5．① 6．145 7．1 8．
9．

10．
11．{﹣1，2} 12．
13．2 14．9

15．（Ⅰ）
=
．

因为0＜A＜π，所以
．

则所以当
，即
时，f（A）取得最大值，且最大值为
．

（Ⅱ）由题意知
，所以
．

又知
，所以
，则
．因为
，所以
，则
．

由
得，
．



16．（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．

设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．

（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE．

三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE=
S△PAE?CD=
?（
?S△PAD）?AB=
（
?
?PA?PD）?AB=
?PA?PD?AB=
?1?2?1=
．

17．（Ⅰ）∵500÷0.8＝625 　 ∴
　

当x＝1000时，y＝
＝0.7　　

即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．　

（Ⅱ）当x∈［2500,3500］时，0.8x∈［2000,2800］

①当0.8x∈
即x∈
时，
　解得x<3000

∴2500≤x<3000; …10分

②当0.8x∈
即x∈
时，
　

解得x<3750 ∴3125≤x≤3500; ……13分

综上，2500≤x<3000或3125≤x≤3500

即顾客购买标价在
间的商品，可得到的实际折扣率低于
．

18．解（Ⅰ）
，
，令
，则由题设可知
，

直线
的斜率
，
的斜率
，又点
在椭圆上，所以

，（
），从而有
。

（Ⅱ）由题设可以得到直线
的方程为
，

直线
的方程为
，

由
， 由
，

直线
与直线
的交点
，直线
与直线
的交点
。

又
，

，

等号当且仅当
时取到，即
，故线段
长的最小值是
。

19．由已知，f '(x)=3x2+a，g'(x)=2x+b，a，b(R；

⑴由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)(0在区间[－1,+()上恒成立，

即，(3x2+a)(2x+b)(0在区间[－1,+()上恒成立，

因a>0，所以，3x2+a>0，所以，2x+b(0在区间[－1,+()上恒成立，

即，b(－2x在区间[－1,+()上恒成立，而y=－2x在[－1,+()上最大值ymax=－2(－1)=2，

所以，b(2，即b([2,+()；

⑵由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)(0在以a，b为端点的开区间上恒成立，

即，(3x2+a)(2x+b)(0在以a，b为端点的开区间上恒成立，

因a<0，所以，由(3x2+a)(2x+b)=0，得x1=－，x2=，x3=－；

①若b>0，则开区间为(a,b)，取x=0，由f '(0)g'(0)=ab<0知，f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致，不符合题设；

②若b(0，因x2，x3均为非负，故不在以a，b为端点的开区间内；所以，只有x1在区间上；

由f '(x)g'(x)(0在以a，b为端点的区间上恒成立，知x1=－要么不小于a，b中的大者，要么不大于a，b中的小者；

因为a，b都不大于0，所以，(2x+b)(0，所以，由f '(x)g'(x)(0知(3x2+a)(0，所以－(x(0；

当0>a>b(－时，由f '(x)g'(x)(0在区间(b,a)上恒成立，即(3x2+a)(2x+b)(0在区间(b,a)上恒成立，知|a－b|最大值为|a+|，而由a>－解得a>－；

此时，|a+|=|－()2+|，配方后知，取不到最大值；

当0(b>a(－时，显然，此时，当b=0，a=－，即b=0，a=－时，|a－b|取得最大值|0－(－)|=；

综上，|a－b|的最大值为；

20．

附加题参考答案

1．展开式的通项公式为 Tr+1=
?x12﹣2r?x﹣r=
?x12﹣3r，

令1