江苏省2014届一轮复习数学试题选编23：椭圆（教师版）

填空题

 ．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系
中,椭圆
的标准方程为
,右焦点为
,右准线为
,短轴的一个端点为
,设原点到直线
的距离为
,
到
的距离为
,若
,则椭圆
的离心率为_______.

【答案】解析:本题主要考察椭圆的性质,以及化繁为简运算能力及数学思想方法.

中,利用面积相等
或者利用原点
到直线
即
的距离公式得
,因为
带入
得

∴
∴
左边分子分母同时除以
右边平方再开方得:

∴
∴
∴

∴
∴
(
舍)∴

法二:【解析】如图,l:x=
,
=
-c=
,由等面积得:
=
.若
,则
=

,整理得:
,两边同除以:
,得:
,解之得:
=
,所以,离心率为:



 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）椭圆
(
)的左焦点为F,直线
与椭圆相交于A,B两点,若
的周长最大时,
的面积为
,则椭圆的离心率为________.

【答案】

 ．（2009高考(江苏)）如图，在平面直角坐标系
中，
为椭圆
的

四个顶点，
为其右焦点，直线
与直线
相交于点T，线段
与椭圆的交点
恰为线段
的中点，则该椭圆的离心率为_____★_____.

【答案】【答案】

【解析】用
表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点, 点
是椭圆上的任意一点, 则
的取值范围是 .

【答案】

 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）设椭圆
:
的左、右焦点分别为
,上顶点为
,过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
.则椭圆
的离心率为___________

【答案】

 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）在平面直角坐标系
中,已知点
是椭圆
上的一个动点,点P在线段
的延长线上,且
,则点P横坐标的最大值为______.

【答案】

提示:设
,由
,得
,

=
=
=
,

研究点P横坐标的最大值,仅考虑
,

(当且仅当
时取“=”).

 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知椭圆
的离心率
,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为
、
,则
=____.

【答案】

解答题

 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,已知椭圆
方程为
,圆
方程为
,过椭圆的左顶点A作斜率为
直线
与椭圆
和圆
分别相交于B、C.

(Ⅰ)若
时,
恰好为线段AC的中点,试求椭圆
的离心率
;

(Ⅱ)若椭圆
的离心率
=
,
为椭圆的右焦点,当
时,求
的值;

(Ⅲ)设D为圆
上不同于A的一点,直线AD的斜率为
,当
时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)当
时,点C在
轴上,且
,则
,由点B在椭圆上,

得
,

∴
,
,∴

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为
,由椭圆定义知,
,

∴
,则点B在线段
的中垂线上,∴
,

又
,∴
,
,∴
,

代入椭圆方程得
=
,∴
=

(Ⅲ)法一:由
得
,

∴
,或
,

∵
,∴
,则

由
得
,

得
,或
,同理,得
,
,

当
时,
,
,

,∴ BD⊥AD,∵
为圆,

∴ ∠ADB所对圆
的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0)

法二:直线
过定点
,

证明如下:

设
,
,则:

,

所以
,又

所以三点
共线,即直线
过定点

 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知椭圆的中心为原点O,一个焦点为F
,离心率为
.以原点为圆心的圆O与直线
互相切,过原点的直线
与椭圆交于A,B两点,与圆O交于C,D两点.

(1)求椭圆和圆O的方程;

(2)线段CD恰好被椭圆三等分,求直线
的方程.

【答案】

(2) 直线
的方程为
,由

解得
,

恰好被椭圆三等分,
=

,

直线
的方程为

．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图,设
,
分别为椭圆
的右顶点和上顶点,过原点
作直线交线段
于点
(异于点
,
),交椭圆于
,
两点(点
在第一象限内),
和
的面积分别为
与
.

(1)若
是线段
的中点,直线
的方程为
,求椭圆的离心率;

(2)当点
在线段
上运动时,求
的最大值.



【答案】

．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,
).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若P为线段AB的中点,求k1;

(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.

【答案】解:依题设c=1,且右焦点
(1,0).

所以,2a=
=
,b2=a2-c2=2,

故所求的椭圆的标准方程为

(2)设A(
,
),B(
,
),则
①,
②.

②-①,得
.

所以,k1=

(3)依题设,k1≠k2.

设M(
,
),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,

代入椭圆方程并化简得
.

于是,
,

同理,
,
.

当k1k2≠0时,

直线MN的斜率k=

=

直线MN的方程为
,

即
,

亦即
.

此时直线过定点

当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点
.

综上,直线MN恒过定点,且坐标为

本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力.讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养.

第(2)问,亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变量或x或y,然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与k1的关系,进而求出k1的值.

第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜率的最值.

近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”.

．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知椭圆
的离心率
,一条
准线方程为

⑴求椭圆
的方程;

⑵设
为椭圆
上的两个动点,
为坐标原点,且
.

①当直线
的倾斜角为
时,求
的面积;

②是否存在以原点
为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线
相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)因为
,
,
,

解得
,所以椭圆方程为

(2)①由
,解得
,

由
得
,

所以
,所以

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为
,则

因为
,故
,

当
与
的斜率均存在时,不妨设直线
方程为:
,

由
,得
,所以
,

同理可得
(将
中的
换成
可得)

,
,

当
与
的斜率有一个不存在时,可得
,

故满足条件的定圆方程为:

．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）如图,在平面直角坐标系
中,点
为椭圆
的

右顶点, 点
,点
在椭圆上,
.

(1)求直线
的方程;

(2)求直线
被过
三点的圆
截得的弦长;

(3)是否存在分别以
为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】解: (1)因为
,且A(3,0),所以
=2,而B, P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,

从而得

所以直线BD的方程为

(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为
,

所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为

又圆心(0,-1)到直线BD的距离为
,所以直线
被圆
截得的弦长

为

．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在平面直角坐标系
中,椭圆
的焦距为2,且过点
.

(1) 求椭圆
的方程;

(2) 若点
,
分别是椭圆
的左、右顶点,直线
经过点
且垂直于
轴,点
是椭圆上异于
,
的任意一点,直线
交
于点

(ⅰ)设直线
的斜率为
直线
的斜率为
,求证:
为定值;

(ⅱ)设过点
垂直于
的直线为
.

求证:直线
过定点,并求出定点的坐标.



【答案】⑴由题意得
,所以
,又
,

消去
可得,
,解得
或
(舍去),则
,