珠海市2013年9月高三摸底考试

理科数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合
，
，则
（　　）

A.
B.
C.
D.

2.复数
（　　）

A.
B.
C.
D.

3.下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数为（　　）

A．
B．
C．
D．

4.在
中，“
”是“
”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.如图，在
中，点是
边上靠近的三等分点，则
（　　）

A．
　 B．
　 C．
　　 D．

6 .已知
满足约束条件 ，则
的最小值为（ ）

A .
B.
C.
D.

7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位:
）则该组合体的体积为（　　）

A. 72000
B. 64000

C. 56000
D. 44000

8. 对于函数
，如果存在区间
，同时满足下列条件：①
在
内是单调的；②当定义域是
时，
的值域也是
，则称
是该函数的“和谐区间”．若函数
存在“和谐区间”，则的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，考生做答6小题，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

9.不等式
的解集是 ．K$s5u

10.在二项式
的展开式中，含项的系数是
，则实数的值为 ．

11.设等比数列
的公比
，则
．

12.直线
是函数
的切线，则实数
．

13.在
中，
，
，
，则
．

14．（几何证明选讲选做题）

如图， 圆的直径

.

15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线
上的点到直线
的距离的最大值是 .

三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本小题满分12分）已知函数
.

（1）求
的最小正周期和最小值； （2）若
且
，求
的值.

17. （本小题满分12分）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

班级

一

二

三

四



人数

3

2

3

4





（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；

（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是
，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为
，求
的分布列和数学期望．

K$s5u

18. （本小题满分14分）在边长为
的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为,构成一个三棱锥．

（1）请判断
与平面
的位置关系，并给出证明；

（2）证明
平面
；

（3）求二面角
的余弦值．

19. （本小题满分14分）若正数项数列
的前项和为
，首项
，点
在曲线
上.

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式
；

（3）设
,
表示数列
的前项和,若
恒成立，求
及实数的取值范围.

20. （本小题满分14分）已知点
的坐标分别是
、
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积为
．

(1)求点
轨迹
的方程；

(2)若过点
的直线
与(1)中的轨迹
交于不同的两点
，试求
面积的取值范围（
为坐标原点）．

K$s5u

21.（本小题满分14分）已知函数
（
）．

（1）当
时，求
在
上的最小值；

（2）若函数
在
上为增函数，求正实数的取值范围；

（3）若关于的方程
在区间
内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

K$s5u

珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学

试题与参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.（集合）已知集合
，
，则
（　　）

A.
B.
C.
D.

2.（复数的除法）复数
（　　）

A.
B.
C.
D.

3.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数为（　　）

A．
B．
C．
D．

4.（充要条件）在
中，“
”是“
”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件K$s5u

5.（向量）如图，在
中，点是
边上靠近的三等分点，则
（　　）

A．
　　 B．
　

C．
　　 D．

6.（线性规划）已知
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）

A .
B.
C.
D.

7.（三视图）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位:
）则该组合体的体积为（　　）

A. 72000
B. 64000

C. 56000
D. 44000

8.（信息题）对于函数
，如果存在区间
，同时满足下列条件：①
在
内是单调的；②当定义域是
时，
的值域也是
，则称
是该函数的“和谐区间”．若函数
存在“和谐区间”，则的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

9.（绝对值不等式）不等式
的解集是
．

10.（二项展开式）在二项式
的展开式中，含项的系数是
，则实数的值为 ．

11.（等比数列）设等比数列
的公比
，则

．

12.（导数）直线
是函数
的切线，则实数

．

13.（解三角形）在
中，
，
，
，则
4 ．

14．（几何证明选讲选做题）

如图， 圆的直径

.

15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线
上的点到直线
的距离的最大值是
.

三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．

16.（三角函数）已知函数

（1）求
的最小正周期和最小值； （2）若
且
，求
的值.

解：（1）
，……………4分

所以
，当
时，
有最小值
…………………………6分

（2）
，

所以
……………………………………………………………………………………10分

因为
，所以
，所以
，

所以
…………………………………………………………………………………………12分

17.（概率）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表

班级

一

二

三

四



人数

3

2

3

4





（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率．

（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选择A、B两个软件学习的概率每个都是
，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为
，求
的分布列和数学期望。

解：(1)设“从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级”的事件为

则
…………………………………………………………………3分

答：从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级的概率是
…………………………4分

(2)
…………………………………………………………………………………………5分

由题设知，每个人选软件C概率均为
…………………………………………………………………6分

……………………………………………………………………………………10分

的分布列如下

























的期望是
……………………………………………………12分

18.（立几）在边长为
的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为,构成一个三棱锥．

（1）请判断
与平面
的位置关系，并给出证明；

（2）证明
平面
；

（3）求二面角
的余弦值．

解：（1）
平行平面
……………………………………………………………………1分

证明：由题意可知点
在折叠前后都分别是