2013—2014学年度高三摸底考联考

数学（理）试题

本试卷共4页，三大题，满分150分。考试时间为120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（本卷共计70分）

一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合
，
，若
,则实数
的所有可能取值的集合为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 设
是复数，
表示满足
的最小正整数
，则对虚数单位
，
（ ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
，则该几何体的俯视图可以是

4.“
”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件5．已知幂函数
的图象过点
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．2 D．－2

6．执行如图所示的程序框图,输出的S值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

7．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）

A. 此函数的图象关于直线
对称

B. 此函数在区间
上是增函数

C. 此函数的最大值为1

D. 此函数的最小正周期为

8．若不等式
在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．)

（一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.)

9．函数
的定义域是______________.

10．已知
满足约束条件
，则
的最小值是_________.

11. 若
展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为 .

12．若双曲线
－
=1的渐近线与圆
相切，则此双曲线的离心率为　 ．

13. 已知正项等比数列
满足：
，若存在两项
使得
，则
的最小值为

（二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)

14. (几何证明选讲选做题)已知 AB是圆
的一条弦，点P为AB上一点，
,PC交圆
于点C，若
,
,则PC的长为 .

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为
，
，则△ABC（其中O为极点）的面积为 .

第II卷（本卷共计80分）

三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16.（本题满分12分）已知向量
,函数

(
),且
.

(1)求函数
的表达式;

(2)设
,

;求
的值

17．（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上



顾客数(人)



30

25



10



结算时间(分钟/人)

1

1.5

2

2.5

3



已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;

(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)

18．（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

19．（本题满分14分）已知数列
的前
项和为
，且
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
记
证明：Tn＜1.

20．（本题满分14分）已知圆
的圆心为
，半径为
，圆
与椭圆
：
有一个公共点
(3,1)，
分别是椭圆的左、右焦点．

（1）求圆
的标准方程；

（2）若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线
与圆
能否相切，若能，求出椭圆
和直线
的方程;若不能，请说明理由．

21．（本题满分14分）已知函数
．

（1）若
为
的极值点，求实数
的值；

（2）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

（3）当
时，方程
有实根，求实数
的最大值。

2013—2014学年度高三摸底考联考

数学科答题卷

登分栏:

第一题

第二题

第三题

总分







第16题

第17题

第18题

第19题

第20题

第21题

























一、选择题：（8小题，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案



















二、填空题：（共6小题，共30分）

9、 ； 10、 ； 11、

12、 ； 13、 ； （ ） .

三、解答题：（注意：必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题指定区域内相应位置.）

16、（本题满分12分）



17、（本题满分12分）



18、（本题满分14分）



19、（本题满分14分）



20、（本题满分14分）



21、（本题满分14分）





2013—2014学年度高三摸底考联考

数学科参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

C

D

A

C

B

B



二、填空题：

9.
； 10.
； 11.24；

12.2； 13.
； 14.
； 15.2

三、解答题：

16.解:(1)依题意得

……2分

又
得
,即
,∴
……3分

∴
…………4分

(2)由
得
,即
……5分

∴
,……6分

又∵
,∴
,……7分

由
得
,即
……8分

∴
,……9分

又∵
,∴
……10分

……12分

17. 解：(1)由已知,得
所以
……2分

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

……………………………………4分

的分布为

X

1

1.5

2

2.5

3



P













X的数学期望为
. …………6分

(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,
为该顾客前面第
位顾客的结算时间,则

. ……8分

由于顾客的结算相互独立,且
的分布列都与X的分布列相同,所以

. ………………11分

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为
.………………12分

18. 方法一:

（Ⅰ）证明：如图，

以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0），P（0,0,4）………1分

…………2分

由此可得
所以
⊥
，即AP⊥BC.…………4分

（Ⅱ）解：设
……5分

……6分

…………7分

设平面BMC的法向量
平面APC的法向量
…………8分

由
得
即

可取
…………10分

由
即
得

可取
…………12分

由
，得
，

解得
，…………13分

综上所述，存在点M符合题意，AM=3.…………14分

方法二：

（Ⅰ）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,…………1分

又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.…………2分

因为PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD…………3分

故BC⊥PA.…………4分

（Ⅱ）解：如下图，在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM. …………5分

由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC. …………6分

又AP
平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。…………7分

在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=
…………8分

在Rt△POD中, PB2=PO2+OD2,

在Rt△PDB中, PB2=PD2+BD2,

所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.…………9分

在Rt△POA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5…………10分

又
…………11分

从而
所以
…………13分

综上所述，存在点M符合题意，AM=3.…………14分

19. 解（1）当
时，由
得
，………………2分

当
时，
…………………………①

………………………………②

上面两式相减，得
………………4分

所以数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，………………5分

求得
……………………7分

（2）
……………………………………………………9分

……………………………………………11分

＜1.……………14分

20. 解：（1）由已知可设圆C的方程为
．…………………1分

将点A的坐标代入圆C的方程，得
，

即
，解得
．………………………………………3分

∵
，∴
，∴圆C的方程为
．…………………5分

（2）依题意，可得直线
的方程为
，即
.…6分

若直线
与圆C相切，则
………………………………7分

∴
，解得
.……………………………………8分

当
时，直线
与x轴的交点横坐标为
，不合题意，舍去；…………9分

当
时，直线
与x轴的交点横坐标为
，………………10分∴
，…………11分

∴由椭圆的定义得
，

∴
，即
， ∴
，………………………………13分

直线
能与圆C相切，直线
的方程为
，椭圆E的方程为
．………14分

21. 解：（1）
．……1分

因为
为
的极值点，所以
．…………………………………2分

即
，解得
．……………………………3分

又当
时，
，从而
为
的极值点成立．…………4分

（2）因为
在区间
上为增函数，

所以
在区间
上恒成立．……5分

①当
时，
在
上恒成立，所以
在
上为增函数，故
符合题意．…………………………………………6分

②当
时，由函数
的定义域可知，必须有
对
恒成立，故只能
，

所以
在
上恒成立． ………………7分

令
，其对称轴为
， ………8分

因为
所以
，从而
在
上恒成立，只要
即可，

因为
，

解得
．………………………………9分

因为
，所以
．

综上所述，
的取值范围为
．………………………10分

（3）若
时，方程
可化为
．

问题转化为
在
上有解，

即求函数
的值域．…………………………11分

因为
，令
，

则
，…………………………12分

所以当
时
，从而
在
上为增函数，

当
时
，从而
在
上为减函数，……………13分

因此
．

而
，故
，

因此当