2013--2014学年度高三摸底考联考

文科数学试题

本试卷共4页，21题，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
则集合
=

A．
B．
C．
D．

2．设复数
满足
，
为虚数单位，则

A．
B．
C．
D．

3．函数
的定义域是

A．
B.
C.
D.

4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是

A．36 B．108

C．72 D．180

5. 在
中，若
，则

A.
B.
C.
D.

6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

A．123 B.38　 　C．11 　D．3

7. 在平面直角坐标系
中，直线
与圆

相交于
两点，则弦
的长等于( )

A.
B.
C.
D.

8．已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

9. 在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是

A. α、β都垂直于平面γ

B. α内不共线的三个点到β的距离相等

C. l,m是α内两条直线且l∥β,m∥β

D. l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β

10.对任意两个非零的平面向量
，定义
．若平面向量
满足
，
与
的夹角
，且
和
都在集合
中，则

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。

（必做题）

11．在等差数列{an}中，a1＝－7,
，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．

12．曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

13．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．

（选做题）请在14、15题中选一题作答。

14．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是________．

15．如图所示，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面积等于1 cm2，则△CDF的面积等于________cm2.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知向量
＝
,
＝
,
＝

（1）若
，求向量
、
的夹角

（2）当
时，求函数
的最大值

17．（本小题满分12分）

在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．

（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；

（2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
，
．

（1）证明：

平面
；

（2）若
是棱
的中点，在棱
上是否存在一点
，使
平面
？证明你的结论．

19（本小题满分14分）

设等差数列
的前
项和
，且
，
.

（1）求数列
的通项公式;

（2）若数列满足
，求数列
的前
项和
.

20（本小题满分14分）

抛物线
与直线
相切，
是抛物线上两个动点，
为抛物线的焦点，
的垂直平分线
与
轴交于点
，且
.

（1）求
的值;

（2）求点
的坐标;

（3）求直线
的斜率
的取值范围.

21（本小题满分14分）

函数

（1）
时，求函数
的单调区间;

（2）
时，求函数
在
上的最大值.

一、选择题

1—5 BDCBB 6—10 CBCDA

二、填空题

11.
12.y＝2x＋3 13. 5 14. (2－，2＋) 15. 9

三、解答题

16．解: （1）∵
＝
,
＝

∴
，
……2分

当
时，
＝

……4分

……5分

∵
∴
……6分

（2）
……7分

……9分

……10分

∵

∴
，故
……11分

∴当
,即
时,
……12分

17．解法一：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：

可以看出，试验的所有可能结果数为16种． ……4分

（1）所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2，2－1，2－3，3－2，3－4，

4－3，共6种． ……6分

故所求概率
．

答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为
． ……8分

（2）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2，2－1，2－4，3－3，4－2，共5种． ……10分

故所求概率为
．

答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为
． ……12分

解法二：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为
，用
表示抽取结果，则所有可能有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共16种． ……4分

（1）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有
，
，
，
，
，
，共6种． ……6分

故所求概率
．

答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为
． ……8分

（2）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有
，
，
，
，
，共5种． ……10分

故所求概率为
．

答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为
． ……12分

18．证明：（1）∵
，∴
．

∵侧棱
底面
，∴
．

∵
，∴
平面
．

∵
平面
，∴
，

∵
，则
． ……4分

在
中，
，
，∴
．

∵
，∴四边形
为正方形．

∴
． …6分

∵
，∴

平面
． ……7分

（2）当点
为棱
的中点时，
平面
． ……9分

证明如下：

如图，取
的中点
，连
、
、
，

∵
、
、
分别为
、
、
的中点，

∴
．

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
．　　　　 ……11分

同理可证
平面
． ……12分

∵
，

∴平面

平面
． ……13分

∵
平面
，

∴
平面
． ……14分

19解：（1）设等差数列
的公差为
，

由
得
……………2分

解得
……………4分

故通项
……………5分

（2）由已知
①

时，