珠海市2013年9月高三摸底考试

文科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合
，
，则
（　　）

A.
B.
C.
D.

2.下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．设为虚数单位，则复数
等于（　　）

A．
B．
C．
D．

4．
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

5．中心在原点的双曲线，一个焦点为
，一个焦点到最近顶点的距离是
，则双曲线的方程是（　　）K$s5u

A．
　 　B．
　　C．
　　D．

6．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的

正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

7．经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是（　　）

A．
B．
C．
D．

8．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为（　　）

A．
B．
C．
D．

9.如右上图，在
中，点是
边上靠近的三等分点，则
（　　）

A．
　 B．
　 C．
　　 D．

10．用
表示非空集合中元素的个数，定义
若
，
，且
，设实数的所有可能取值构成集合
，则
（　　） A．　　 B．　　 C．　 　D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答4小题，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

11.设等比数列
的公比
，则
．

12.直线
是函数
的切线，则实数
．

13.在
中，
，
，且
的面积为
，则边
的长为_________.

14．（几何证明选讲选做题）如右图，圆
的割线
交圆

于、两点，割线
经过圆心。已知
，

，
。则圆
的半径
．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
中，直线
（
）被圆
截得的弦的长是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）已知函数
，
．

（1）求
的值； （2）若
，且
，求
.

K$s5u

17. （本题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：

高校

相关人数

抽取人数



A

18





B

36

2



C

54





（1）求,；

(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，

求这2人都来自高校C的概率.

18．（本题满分14分）在边长为
的正方形
中，
分别为
的中点，
分别为
的中点，现沿
折叠，使
三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．

（1）请判断
与平面
的位置关系，并给出证明；

（2）证明
平面
；

（3）求四棱锥
的体积．

K$s5u

19．（本题满分14分）数列
的各项均为正数，
为其前项和，对于任意的
，总有
成等差数列．

(1)求
；

(2)求数列
的通项公式；

(3)设数列
的前项和为
，且
，求证:对任意正整数，总有
．

20．（本题满分14分）已知点
、
，若动点满足
．

（1）求动点的轨迹曲线
的方程；

（2）在曲线
上求一点
，使点
到直线：
的距离最小．

K$s5u

K$s5u

21．（本题满分14分）已知函数
满足
，
且
在上恒成立.

(1)求
的值；

(2)若
,解不等式
；

(3)是否存在实数，使函数
在区间
上有最小值
？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.

K$s5u

珠海市2013年9月高三摸底考试

试题与参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.（集合）已知集合
，
，则
（　　）

A.
B.
C.
D.

2.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．（复数的除法）设为虚数单位，则复数
等于（　　）

A．
B．
C．
D．

4．（三角函数）
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

5．（圆锥曲线）中心在原点的双曲线，一个焦点为
，一个焦点到最近顶点的距离是
，则双曲线的方程是（　　）

A．
　 　B．
　　C．
　　D．

6．（三视图）如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的

正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

7．（直线与圆）经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是（　　）

A．
B．
C．
D．

8．（线性规划）已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为（　　）

A．
B．
C．
D．

9.（向量）如右上图，在
中，点是
边上靠近的三等分点，则
（　　）

A．
　　 B．
　 C．
　　 D．

10．（信息题）用
表示非空集合中元素的个数，定义

若
，
，且
，设实数的所有可能取值构成集合
，则
（ ） A．　 　B． 　　C． 　　D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

11.（等比数列）设等比数列
的公比
，则

．

12.（导数）直线
是函数
的切线，则实数

．

13.（解三角形）在
中，
，
，且
的面积为
，则边
的长为___
______.

14．（几何证明选讲选做题）如右图，圆
的割线
交圆

于、两点，割线
经过圆心。已知
，

，
。则圆
的半径
．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
中，直线
（
）被圆
截得的弦的长是
．

三、解答题：本大题共6小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（三角函数）已知函数
，

（1）求
的值； （2）若
，且
，求
.

解: (1)

………………………………………………………………………………………2分

(2)

………………………………………………………………………4分

………………………………………………………………………6分

……………………………………………………………8分

……………………………………………………10分

因为
，且
，所以
………………………………………………11分

所以
………………………………12分

高校

相关人数

抽取人数



A

18





B

36

2



C

54





17.（概率）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）

（1）求,；

(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，

求这2人都来自高校C的概率.

解: (1)由题意可得:
,即
………………………………………………………………………2分

,即
………………………………………………………………………4分

(2)设事件：2人都来自高校C…………………………………………………………………………5分

记高校的两人为
，高校
的两人为

则选取2人的所包含的基本事件共有：
，
，
，
，

，