江苏省2014届一轮复习数学试题选编25：抛物线

填空题

 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线L交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_____________.

【答案】

 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在平面直角坐标系xOy中,已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为,则线段PF的长为_____.

【答案】

 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则双曲线的离心率为______.

【答案】

 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知圆
的圆心为抛物线
的焦点,又直线
与圆
相切,则圆
的标准方程为____.

【答案】
;

 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）圆心在抛物线
上,并且和抛物线的准线及
轴都相切的圆的标准方程为______.

【答案】
;

 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系
中,抛物线
上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦 点到准线的距离为______.

【答案】4

 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）设点P是曲线y=x2上的一个动点,曲线y=x2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q,则PQ的最小值为________.

【答案】

 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））抛物线
准线方程为_________________________________.

【答案】

 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））抛物线
=4y的准线方程为___________________.

【答案】

解答题

．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,已知抛物线
的焦点为
过
的直线
与抛物线
交于
两点,
为抛物线的准线与
轴的交点.

(1) 若
求直线
的斜率;

(2) 求
的最大值.



【答案】⑴因为抛物线
焦点为
,
.

当
轴时,
,
,此时
,与
矛盾,

所以设直线
的方程为
,代入
,得
,

则
,
, ①所以
,所以
,②

因为
,所以
,将①②代入并整理得,
,

所以

⑵因为
,所以

,当且仅当
,即
时,取等,所以
,所以
的最大值为

．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

如图,已知定点R(0,-3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使
,且
.

(1)求动点M的轨迹C1;

(2)圆C2:
,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点(从左到右),交C2于B,C两点(从左到右),求证:
为定值.



【答案】解:(1)法一:设M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由
及R(0,-3),得

化简,得

所以,动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线

法二:设M(x,y).

由
,得
.

所以,
.

由
,得
,即
.化简得

所以,动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线

(2)证明:由题意,得
,⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.

设
,
,则

同理
.

设直线的方程为
.

由
得
,即
.

所以,

．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）抛物线
上有两点
且
(
为坐标原点)

(1)求证:
∥
(2)若
,求AB所在直线方程.

【答案】抛物线
上有两点
且
(
为坐标原点)

(1)求证:
∥
(2)若
,求AB所在直线方程.

．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）过直线
上的动点
作抛物线
的两切线
,
为切点.

(1)若切线
的斜率分别为
,求证:
为定值;

(2)求证:直线
过定点.

【答案】(1)设过
作抛物线
的切线的斜率为
,则切线的方程为
,

与方程
联立,消去
,得
.

因为直线与抛物线相切,所以
,

即
. 由题意
知,此方程两根为
,

所以
(定值)

(2)设
,由
,得
.

所以在
点处的切线斜率为:
,因此,切线方程为:
.

由
,化简可得,
.

同理,得在点
处的切线方程为
.

因为两切线的交点为
,故
,
.

所以
两点在直线
上,即直线
的方程为:
.

当
时,
,所以直线
经过定点

．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知抛物线
和抛物线
在交点处的两条切线互相垂直,求实数
的值.

【答案】

．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,
轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米.

(Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程;

(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?

(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)

【答案】解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为
,

依题意:

解得,
,
,
,

∴助跑道所在的抛物线方程为

(Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为
(
),

依题意:
得
解得

∴
,

令
得,
,∵
,∴
,

当
时,
有最大值为
,

则运动员的飞行距离
,

飞行过程中距离平台最大高度
,

依题意,
,得
,

即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间

．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，过抛物线
上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点
（1）求
的值；（2）若
，

求
面积的最大值。

【答案】解：．⑴因为
，
在抛物线

上，

所以
，

，

同理
，依题有
，因为
，所以
．

⑵由⑴知
，设
的方程为
，

到
的距离为
，
，

所以
=

，

令
，由
，
，可知
．
，

因为
为偶函数，只考虑
的情况，记
，
，故
在
是单调增函数，故
的最大值为
，故
的最大值为6．

．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）斜率为1的直线与抛物线
交于不同两点
,求线段
中点
的轨迹方程.

.

【答案】解:设直线方程:
,

将
代入
,得
,

所以

,
,

线段
中点
的轨迹方程为:

．（2009高考(江苏)）在平面直角坐标系
中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在
轴上。

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点
的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为
，求
关于
的表达式。

【答案】[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。