苏州市2014届高三暑假自主学习测试试卷

数 学 2013.09

正 题

注意事项：

1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．

2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．

3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的方差
，其中
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，
，则
___▲___.

2．设
R，向量
且
，则x= ___▲___．

3．设复数z满足
（i为虚数单位），则
=___▲___.

4．若
，则
的最小值为 ▲ ．

5．样本数据18，16，15，16，20的方差
＝___▲___.

6．已知双曲线
的离心率为2，则m的值为 ___▲___．

7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___▲___.

8．已知函数
,其中
是取自集合
的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．

9．已知实数x，y满足不等式组
，则
的最大值是 ▲ ．

10．已知函数
，则满足
的x的取值范围是___▲___．

11．如图，在直四棱柱
中，点
分别在
上，且
，
，点
到
的距离之比为3：2，则三棱锥
和
的体积比
= ___▲___.

12．已知P是直线l：
上一动点，PA，PB是圆C：
的两条切线，切点分别为A，B．若四边形PACB的最小面积为2，则k= ▲ ．

13．已知函数
和
的图象的对称轴完全相同，则
的值是 ▲ ．

14．已知各项均为正数的等比数列
，若
，则
的最小值为___▲___.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内．

15．（本小题满分14分）

已知向量
，
，
，其中
为
的内角．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若
，且
，求
的长．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥
的底面为矩形，
，
，
分别是
的中点，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

17．（本小题满分14分）

设数列
的前n 项和为
，对任意
满足
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前2n项和
．

18．（本小题满分16分）

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
排，在路南侧沿直线
排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将
与
接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于
的角为
．

（Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于
的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角
．

19．（本小题满分16分）

已知椭圆
的长轴两端点分别为A，B，
是椭圆上的动点，以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD，使
，PD交AB于点E，PC交AB于点F．

（Ⅰ）如图（1），若k＝1，且P为椭圆上顶点时，
的面积为12，点O到直线PD的距离为
，求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图（2），若k＝2，试证明：AE，EF，FB成等比数列．

图（1）

图（2）

20．（本小题满分16分）

对于函数
，若在定义域内存在实数x，满足
，则称
为“局部奇函数”．

（Ⅰ）已知二次函数
，试判断
是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若
是定义在区间
上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若
为定义域
上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

2014届高三暑假自主学习测试试卷

数 学 2013.09

附加题

注意事项：

1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．

2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．

　　3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．

21．【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

已知：如图，点A，P，B在⊙O上，
， PC平分
，交⊙O于点C．求证：
为等腰直角三角形．

B．选修4—2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

已知矩阵A =
，B =
，求矩阵
．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
．试求曲线C和
的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．

D．选修4—5：不等式选讲

（本小题满分10分）

设实数a，b满足


，求证：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，已知曲线C上任意一点到点
的距离与到直线
的距离相等．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设
，
是x轴上的两点
，过点
分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点
，直线
与x轴交于点
，这样就称
确定了
．同样，可由
确定了
．现已知
，求
的值．

23．（本小题满分10分）

设a，b为实数，我们称（a，b）为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A，B，C满足
，且
，则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（
表示集合S中的元素的个数）．

（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；

（Ⅱ）由集合
的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．

2014届高三暑假自主学习测试试卷

数学参考答案及评分标准 2013.09

正 题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．
2．
3．
4．4 5．3.2 6．3 7．9 8．

9．
10．
11．
12．2 13．
14．54

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
， ………………… 2分

所以
，即
， ………………… 4分

故
或
（舍），

又
，所以
． ………………… 7分

（Ⅱ）因为
，所以
． ① ………………… 9分

由余弦定理
，

及
得，
． ② …………………12分

由①②解得
． …………………14分

16．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）取
中点G，连
，

因为
、
分别为
、
的中点，所以
∥
，且
． ……… 2分

又因为
为
中点，所以
∥
，且
． ………………… 3分

所以
∥
，
．故四边形
为平行四边形． ………………… 5分

所以
∥
，又

平面
，

平面
，

故
∥平面
． ………………… 7分

（Ⅱ）设
，由
∽
及
为
中点得
，

又因为
，
，所以
，
．

所以
，又
为公共角，所以
∽
．

所以
，即
． ……………… 10分

又
，

，

所以
平面
． ……………… 12分

又
平面
，所以平面
平面
． ……………… 14分

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）∵
，①

∴当
时，
，②

以上两式相减得
， ………………… 2分

即
，

∵
，∴当
时，有
． ………………… 5分

又当
时，由
及
得
，

所以数列{ an }是等差数列，其通项公式为an＝n
． ………………… 8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
． ………………… 9分

所以
………………… 10分

． ………………… 14分

18．（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）如图，过E作
，垂足为M，由题意得
，

故有
，
，
．………………… 4分

所以
… 5分

． ………… 8分

（Ⅱ）设
（其中
，

则
． ………………… 10分

令
得
，即
，得
． ………………… 11分

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有
．………………… 15分

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
． ………………… 16分

19．（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）如图，当k＝1时，CD过点（0，-b），CD＝2a，

∵
的面积为12，∴
，即
．① ………………… 2分

此时D（-a，-b），∴直线PD方程为
．

∴点O到PD的距离
＝
． ② …… 4分

由①②解得
． …………… 6分

∴所求椭圆方程为
． ………… 7分

（Ⅱ）如图，当k＝2时，
，设
，

由D，E，P三点共线，及
，

（说明：也可通过求直线方程做）

得
，

∴
，即
．…… 9分

由C，F，P三点共线，及
，

得
，

∴
，即
．…… 11分

又
，∴
． ………………… 13分

而
．…… 15分

∴
，即有AE，EF，FB成等比数列． ………………… 16分

20．（本小题满分16分）

解：
为“局部奇函数”等价于关于x的方程
有解．

（Ⅰ）当
时，

方程
即
有解
，

所以
为“局部奇函数”． ……………… 3分

（Ⅱ）当
时，
可化为
，

因为
的定义域为
，所以方程
在
上有解．………… 5分

令
，则
．

设
，则
，

当
时，
，故
在
上为减函数，

当
时，
，故
在
上为增函数． ………………… 7分

所以
时，
．

所以
，即
． ………………… 9分

（Ⅲ）当
时，
可化为

．

，则
，

从而
在
有解即可保证
为“局部奇函数”．……… 11分

令
，

1° 当
，
在
有解，

由
，即
，解得
； ……………… 13分

2° 当
时，
在
有解等价于

解得
． ………………… 15分

（说明：也可转化为大根大于等于2求解）

综上，所求实数m的取值范围为
． ………………… 16分

附加题

21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

证明：由
得
为直径，所以
． …………………… 2分

由
，得
，同理
． …………………… 4分

又因为PC平分
，所以
． …………………… 6分

所以
，故
． …………………… 8分

从而，
为等腰直角三角形． ………………… 10分

B．选修4—2：矩阵与变换

解：设矩阵A的逆矩阵为
，则

=
， ………………… 1分

即
=
， ………………… 4分

故
，从而A的逆矩阵为
=
． ………………… 7分

所以
=

=
． ………………… 10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

解：由
得曲线C的直角坐标方程为
． ………………… 2分

由
得曲线
的直角坐标方程为
． ………………… 5分

曲线C表示以
为圆心，5为半径的圆；曲线
表示以
为圆心，2为半径的圆．

因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分

所以圆C和圆
的位置关系是内含． ………………… 10分

D．选修4—5：不等式选讲

证明：作差得
…………………… 1分

＝
＝
…………………… 4分

＝
． …………………… 6分

因为


，所以a，b不同时为0，故
，
，

所以
，即有
． …………………… 10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）因为曲线C上任意一点到点
的距离与到直线
的距离相等，

根据抛物线定义知，曲线C是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，

故其方程为
． ……………… 4分

（Ⅱ）由题意知，
，
，则
，

故
：
． ……………… 6分

令
，得
，即
． ……………… 8分

同理，
， ……………… 9分

于是
． ……………… 10分

23．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）设
，
，
，则
，
，
，
，且
．

所以（A，B，C）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分

（Ⅱ）令
，如果（A，B，C）是由S的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的
，使得
，
，
（如图），要确定
共有
种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A，B，C中的某一个或不属于任何一个，则有
种确定方法．

所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数N=
．……………… 10分