新余一中

宜春中学

命题人：敖礼生 审题人：胡军

考试时间：120分钟 满分：150分 2013.8.25

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．若集合
则
中元素个数为 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是 (　　)

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

3． 已知命题
，命题
，若命题“
”为真命题，则实数
的取值范围是 (　　)

A.
B.
C.
D.

4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　 　)

A. π B. π

C. π D. π

5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式
≤0的解集为　　 (　　)

A．(－∞，－2]∪(0,2] B．[－2,0]∪[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,0)∪(0,2]

6．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是 (　　)

A．(0,3) B．(3，) C．(0,3)∪(，＋∞) D．(0,2)

7．函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为 (　　)

A．0 B. C．1 D.

8．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是 (　　)

A．[－，3] B．[，6] C．[3,12] D．[－，12]

9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 (　　)

A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－

10．奇函数f(x)、偶函数g(x)的图像分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b＝ (　　)

A. 14

B. 10

C. 7

D. 3

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11 .已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f(log5)的值等于________．

12.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________

13．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．

14.已知集合
，则实数a的取值范围是___________．

15．在
中，
，则
的取值范围是________．

三 解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16(本小题满分12分)．已知函数
（
）．

（1）若
的定义域和值域均是
，求实数
的值；

（2）若对任意的
，

，总有
，求实数
的取值范围．

17(本小题满分12分)设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
面积的最大值．

18．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式>2 010的n的最小值．

19(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且与椭圆x2＋＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0,1)，与椭圆C交于不同的两点A、B.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

20．(本小题满分13分)如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.

(1)求证：BF∥平面ACGD；

(2)求二面角D-CG-F的余弦值．

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．

(1)求常数a的值；

(2)若存在x使不等式
>成立，求实数m的取值范围；

(3)对于函数y＝f(x)和y＝g(x)公共定义域内的任意实数x0，我们把|f(x0)－g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

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一、选择题（10×5=50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（5×5=25分）

11、 12、 13、

14、 15、

三、解答题

16、（12分）

17、（12分）

18、（12分）

19、（12分）

20、（13分）

21、（14分）

参考答案

1D 2C 3 B　 4B 5D 6C 7B 8C 9D 10B

11 1 12  13 4 14
15
．

16解： （1）∵
（
）,

∴
在
上是减函数，又定义域和值域均为
，∴
，

即
， 解得
．（5分）

（2）若
，又
，且，

∴
，
．

∵对任意的
，

，总有
，

∴
， 即
，解得
，

又
， ∴
．

若


，

显然成立， 综上
。 （12分）

17【解析】（1）∵
，
，

∵
，

∴
．

∴
．

∴
．

在△
中，
．

∴
，
．

（2）∵
，
．

∴

∴
，当且仅当
时取“=” ．

∴三角形的面积
．

∴三角形面积的最大值为
．

18解析　(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得an＝2an－1＋1.

所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．

因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.

a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.

(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.

所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①

2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②

①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1

＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1

＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.

所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.

若>2 010，

则>2 010，即2n＋1>2 010.

由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.

所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.

19解析　(1)∵椭圆C的焦距为4，∴c＝2.

又∵椭圆x2＋＝1的离心率为，

∴椭圆C的离心率e＝＝＝，∴a＝2，b＝2.

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0)，

∵右焦点F在圆的内部，∴·<0.

∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2<0，

即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1<0.

∴(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5

＝(1＋k2)·＋(k－2)·＋5＝<0，

∴k<.

经检验，当k<时，直线l与椭圆C相交．

∴直线l的斜率k的取值范围为(－∞，)．

20解析　方法一　(1)设DG的中点为M，连接AM，FM.

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形．

∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，

∴AB∥DE.∵AB＝DE，

∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形．

∴BF∥AM.

又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，

故BF∥平面ACGD.

(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，

∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则∠MNF为所求二面角的平面角．

连接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，所以四边形ACMD为平行四边形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.

∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.

在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，

∴MN＝＝＝.

在Rt△FMN中，

∵MF＝2，MN＝，

∴FN＝＝.

∴cos∠MNF＝＝＝.

∴二面角D-CG-F的余弦值为.

方法二　由题意可得，AD，DE，DG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，

F(2,1,0)．

(1)＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴＝，∴BF∥CG.

又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(2)＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．

设平面BCGF的法向量为n1＝(x，y，z)，

则

令y＝2，则n1＝(1,2,1)．

则平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝

＝＝.

由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D-CG-F的余弦值为.

21解析　(1)f(x)与坐标轴的交点为(0，a)，f′(0)＝a，

g(x)与坐标轴的交点为(a,0)，g′(a)＝.

∴a＝?a＝±1，又a>0，故a＝1.

(2)>可化为m

令h(x)＝x－ex，则h′(x)＝1－()ex.

∵x>0，∴＋≥，ex>1?(＋)ex>1.

故h′(x)<0.

∴h(x)在(0，＋∞)上是减函数，因此h(x)

∴实数m的取值范围是(－∞，0)．

(3)y＝f(x)与y＝g(x)的公共定义域为(0，＋∞)，

|f(x)－g(x)|＝|ex－lnx|＝ex－lnx.

令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1>0.

∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故h(x)>h(0)＝0，即ex－1>x.　　　①

令m(x)＝lnx－x＋1，则m′(x)＝－1.

当x>1时，m′(x)<0，当00.

∴m(x)有最大值m(1)＝0，因此lnx＋1

由①②，得ex－1>lnx＋1，即ex－lnx>2.

∴函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.