四川省雅安中学高2011级高三入学模拟

数学（理）试题

本试题卷分第Ⅰ卷和第II卷 两部分，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合P={1，2，3，4}，
，则P∪Q=

A．
B．{3,4} C．{1,2,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}

2．对于函数
，下列命题正确的是

A．函数f（x）的图象恒过点（1，1） B．
∈R，使得

C．函数f（x）在R上单调递增 D．函数f（x）在R上单调递减

3．在等差数列
等于

A．9 B． 27 C．18 D．54

4．函数
的零点所在区间为

A．（3,+∞） B．（2,3） C．（1,2）D．（0,1）

5．已知α为第四象限的角，且
=

A．
B．
C．一
D．

6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．15 B．20 C． 30 D．60

7．设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

8．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，且
=2c，若点P在椭圆上，且满足
，则该椭圆的离心率e等于

A．
B．
C．
D．

9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，

则下列判断错误的是

A．DB1⊥平面ACD1 B．BC1∥平面ACD1

C．BC1⊥DB1 D．三棱锥P-ACD1的体积与P点位置有关

10．已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是

A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．答案填在答题卡上．

11．某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为 ．

12．函数
的定义域为 ．

13．若实数
满足不等式组
，则
的最大值为 ．

14．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .

15.设
为定义在区间
上的函数.若对
上任意两点
和实数
，总有
，则称
为
上的严格下凸函数。若
为
上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意
有
成立（
是函数
导函数的导函数），则以下结论正确的有

________________________.

①
，
是严格下凸函数.

②设
且
，则有

③若
是区间
上的严格下凸函数，对任意
，则都有

④
是严格下凸函数

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数

（I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，若
，求△ABC的面积．

17．（本小题满分12分） 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是D1C、AB的中点．

（I）求证：EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）求二面角D—EF—A的余弦值．

18．（本小题满分12分） 某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：

方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为
，家长所得点数记为
；

方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]，的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为
，家长的计算器产生的随机实数记为
．

（I）在方案一中，若
，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；

（Ⅱ）在方案二中，若m>2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．

19．（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，且
；数列
为等差数列，且
，
.

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）若
(
=1,2,3…)，
为数列
的前
项和.求
.

20．（本小题满分13分）已知椭圆
的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
.

(1)求椭圆
的标准方程;

(2)设不过原点
的直线
与椭圆
交于两点
、
，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求△
面积的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）若
，求
的极小值;

（2）若
有两个不同的极值点，其极小值为
，试比较
与
的大小关系，并说明理由;

（3）若
，设
.是否存在正整数
，使得当
时，恒有
.若存在，求出一个满足条件的
，若不存在，请说明理由.

参考答案

一.选择题 1—5 DACBA 6—10 CBCDA

二. 填空题 11.6 12. (-1,
) 13.
14.
15. ①④

三.解答题

16.解：(Ⅰ)

，最小正周期为
.

（2）．
，
，

17.(1)取DD1的中点G，连接GA,GE.

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是D1C,AB的中点，

则GE∥DC∥AB,GE=
DC=
AB=AF,

则GE ∥AF,GE=AF,四边形AFEG为平行四边形。

则EF∥AG,AG
平面ADD1A1,EF
平面ADD1A1,则EF∥平面ADD1A1

(2)建立空间直角坐标系D-XYZ，棱长为2，则D(0,0,0),E(0,1,1),F(2,1,0),A(2,0,0)

平面DEF的法向量为
=（-1,2，-2），平面AEF的法向量
=（1,0,2）

所以所求二面角D-EF-A的余弦值为

18.（1）由题意，宝宝和家长所得点数X,Y所有取值所得基本事件总数为35

而满足X+1=2Y的（X,Y）有：（1,1），（3,2），（5,3）共3组。

则抛掷一次后宝宝得小红花的概率P=
。

（2）由题意，m,n∈
,则(m,n)所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25

(m,n)满足不等式m>2n，所占区域面积为
×4×2=4，则按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率P=

19. 解：（1）数列
为等差数列，公差
,可得
由
，令
，则
，又

所以
当
时，由
，可得

即
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，

于是

（2） 从而

，

.

20. 解析:(1)由已知得


∴
方程：

(2)由题意可设直线
的方程为：

联立
消去
并整理，得：

则△

,

此时设
、
∴

于是

又直线
、
、
的斜率依次成等比数列，

∴

由
得：


.又由△
得：

显然
（否则：
，则
中至少有一个为0，直线
、
中至少有一个斜率不存在，矛盾！）

设原点
到直线
的距离为
,则

=
|m|
=
故由
得取值范围可得△
面积的取值范围为

21. 解：（1）∵

∴





















递减

极小值

递增





（2）

∵
有两个不同的极值点，

∴
在
有两个不同的实根。设

则
即：
设
在
的两根
且





























递增

极大值

递减

极小值

递增



∴

又
在
的两根为
∴

∴

∴
， ∵

∴
令
，

∴
时，
，
在
递减， ∴
时，

∴

（3）要使
时，恒有
即：

∵
.

；

同理：

∴

由（1）的结论，令
得

即：

∴
即：

……

累加：

即：

又

∴

要使
只需要

即：

综上所述，存在正整数
，使得当
时，恒有