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惠州市2014届高三第一次调研考试 数学试题(理科） （本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2.复数在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量，，且，则向量( ) A. B. C. D. 4.已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是( ) A. B. 或 C. D. 或 5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( ) A.若,则 B.若,则 C.若则 D.若,则 6.不等式组表示的平面区域的面积是( ) A. B. 0 C. D. 7.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是( ) A. B. C.6 D.9 8.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是( ) A.10个 B.15个 C.16个 D.18个 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项 的和 . 11.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角 . 12.设是上的奇函数,. 当时有, 则 . 13.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向, 从处运动到 (单位：)处,则力做的功为 焦. 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,为圆直径,切圆于点, , ,则等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求的最大值和最小正周期；(2)?若，是第二象限的角，求. 17.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示： 宣传慰问 义工 总计 20至40岁 11 16 27 大于40岁 15 8 23 总计 26 24 50 (1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望. 18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值. 19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（1） 求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆相交于两点，是 直线上的点，满足， 求点的轨迹方程． 21.（本小题满分14分）已知二次函数,且不等式的解集为.(1) 方程有两个相等的实根,求的解析式. (2) 的最小值不大于,求实数的取值范围. (3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点. 惠州市2014届高三第一次调研考试 数学 (理科）参考答案与评分标准 一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D C A D B 1.【解析】，故，故选C. 2.【解析】，所以点（位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵,∴,∴.故选A. 4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线 的方程为,由题意得或. 所以,直线的方程或.故选D. 【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若, 则”.故选C 6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为.故选A. 7.【解析】设切点为，则 ①， ∵，又切线l过A、M两点， ∴则 ② 联立①、②可解得，从而实数的值为故选D. 8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可. 若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有; 若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有; ∴共有个.故选B 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5 9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】. 11.【解析】直线与直线垂直得，. 12.【解析】 . 13.【解析】 14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离是. 15.【解析】连接,切圆于点,.又，是中点，. 三、解答题： 16.解(1)∵ ………………………4分 ∴的最大值为2,……5分，最小正周期为 ………6分 (2)由(1)知, 所以,即 ………………………8分 又是第二象限的角,所以……10分 所以 ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ 可能的取值为. ………………………5分 则,, ………8分 ∴的分布列为 ………10分 ∴ 的数学期望为 ………12分 18（本小题满分14分）解: (1)取的中点,连、 、 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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