望江四中2014届高三上学期第一次月考

数 学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题时120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）

1.若集合
,
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．在复平面内,复数
对应的点的坐标为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．已知
为等差数列，若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知函数
有且仅有两个不同的零点
，
，则（　　）

A．当
时，
，
B．当
时，
，

C．当
时，
，
D．当
时，
，

5. 设集合
是
的子集，如果点
满足：
，称
为集合
的聚点.则下列集合中以
为聚点的有：
； ②
； ③
； ④
（　　）

A．①④ B．②③ C．①② D．①②④

6. 在下列命题中, ①“
”是“
”的充要条件;②
的展开式中的常数项为
;③设随机变量
~
,若
,则
.其中所有正确命题的序号是 （　　）

A．② B．②③ C．③ D．①③

7．已知偶函数
,当
时,
,当
时,
(
).关于偶函数
的图象G和直线
:
(
)的3个命题如下:

① 当a=4时,存在直线
与图象G恰有5个公共点;

② 若对于
,直线
与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;

③
,使得直线
与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

8. 已知函数
,定义函数
给出下列命题:

①
; ②函数
是奇函数;③当
时,若
,
,总有
成立,其中所有正确命题的序号是（　　）

A．② B．①② C．③ D．②③

9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（　　）

A．12种 B．15种 C．17种 D．19种

10．若函数
满足
，且
时，
，函数
，则函数
在区间
内的零点的个数为

A．6 B．7 C．8 D．9

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.设方程
的根为
，设方程
的根为
，则
。

12. 数列
的通项公式
，其前
项和为
，则
．

13．若正整数
满足
，则数组
可能是 .

14. 已知a,b均为正数且
的最大值为 ．

15． 函数
的定义域为
,若
且
时总有
,则称
为单函数.例如,函数
是单函数.下列命题:①函数
是单函数;②函数
是单函数;③若
为单函数,
且
,则
;④函数
在定义域内某个区间
上具有单调性,则
一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）

16．（本小题共12分）已知函数
，其中

（1）对于函数
，当
时，
，求实数
的取值集合；

（2）当
时，
的值为负，求
的取值范围。

17．（本小题共12分）如图,四棱锥
的底面
是正方形,棱
底面
,
＝１,
是
的中点．

(1)证明平面
平面
；

(2)求二面角
的余弦值。

18．（本小题共12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
. ①
；

②
；

③
；

④
；

⑤
.

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数
；

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

19．（本小题共12分）已知函数

(1)若
求
在
处的切线方程;

(2)若
在区间
上恰有两个零点,求
的取值范围.

20．（本小题13分）如图，过抛物线
的对称轴上任一点
作直线与抛物线交于
、
两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（1）设
，证明：
；

（2）设直线AB的方程是
，过
、
两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

21．（本小题14分）已知函数
(
).

(1)当
时,求函数
的单调区间;

(2)当
时,
取得极值.

① 若
,求函数
在
上的最小值;

② 求证:对任意
,都有
.

理科数学参考答案

7.【 解析】D 因为函数
和
的图象的对称轴完全相同，所以两函数的周期相同，所以
，所以
，当
时，
，所以
，因此选A。

8.

9.【 解析】D.分三类：第一类，有一次取到3号球，共有
取法；第二类，有两次取到3号球，共有
取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。

10.【 解析】C 因为函数
满足
，所以函数
是周期为2 的周期函数，又因为
时，
，所以作出函数
的图像：

由图知：函数
－g(x)在区间
内的零点的个数为8个。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11． 4 12． 1006 13.
14．
15. ③

11．【 解析】在同一坐标系中作出函数
与
的图象。它们与直线
的交点为
、
，则
。因为函数
与
互为反函数，由反函数性质知
，所以
。

12. 【 解析】

所以
，于是
。

13.【 解析】不妨设
，由题易得
，通过验算可得
。

14．【解析】由柯西不等式可得：

15.①若
,则由
得
,即
,解得
,所以①不是单函数.②若
则由函数图象可知当
,时,
,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间
上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）

16．解:（1）容易知道函数
是奇函数、增函数。

（2）由（1）可知：当
时，
的值为负

且

17．证明:(1) ∵
,
是
的中点, ∴
.

∵
底面
,∴
.又由于
,
,

故
底面
,

所以有
.又由题意得
,故
.

于是,由
,
,
可得
底面
.

故可得平面
平面

(2)取CD的中点F，连接AC与BD，交点为Ｍ，取ＤＭ的中点N，连接ＥＮ，ＦＮ，易知
为二面角
的平面角，又
，
，由勾股定理得
，在
中，

所以二面角
的余弦值为

（用空间向量做，答案正确也给６分）

18.解： (1)选择②式计算

.

(2)猜想的三角恒等式为

.

证明：

.

19．解: (1)

在
处的切线方程为

(2)由

由
及定义域为
,令

①若
在
上,
,
在
上单调递增,

因此,
在区间
的最小值为
.

②若
在
上,
,
单调递减;在
上,
,
单调递增,因此
在区间
上的最小值为

③若
在
上,
,
在
上单调递减,

因此,
在区间
上的最小值为
.

综上,当
时,
;当
时,
;

当
时,

可知当
或
时,
在
上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.

当
时,要使