唐山市2013—2014学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案

（18）解：

（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为

0.0050×20×40＋0.0075×20×60＋0.0075×20×80＋0.0150×20×100

＋0.0125×20×120＋0.0025×20×140＝92． …4分

（Ⅱ）样本中分数在[30，50)和[130，150]的人数分别为6人和3人，

所以抽取的3人中分数在[130，150]的人有3×＝1（人）． …8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：抽取的3人中分数在[30，50)的有2人，记为a，b，

分数在[130，150]的人有1人，记为c，从中随机抽取2人，

总的情形有(a，b)，(a，c)，(b，c)三种．

而分数在[30，50)和[130，150]各1人的情形有(a，c)，(b，c)两种，

故所求概率P＝． …12分

（Ⅱ）设点B到平面CEG的距离为h．

由（Ⅰ）知：BF∥CE，可得BF∥平面CEG，

故点B到平面CEG的距离等于点F到平面CEG的距离，

所以VB－CEG＝VF－CEG＝VC－EFG，×S△CEG×h＝×S△EFG×FA．

依题意，在△CGE中，CG＝，CE＝2，GE＝，

因为CG2＋GE2＝CE2，

所以S△CEG＝CG×GE＝．

在Rt△EFG中，S△EFG＝，又FA＝2，

故点B到平面CEG的距离为h＝． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝，x＞0．

若a≤0，f((x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增；

若a＞0，当x∈(0，)时，f((x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(，＋∞)时，f((x)＜0，f(x)单调递减． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上递增，

又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．

若a＞2，当x∈(，1)时，f(x)递减，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．

若0＜a＜2，当x∈(1，)时，f(x)递增，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．

若a＝2，f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，

f(x)≤f(1)＝0符合题意，

综上a＝2． …12分

（22）证明：

（Ⅰ）连结AM，则∠AMB＝90(．

因为AB⊥CD，所以∠AEF＝90(．

所以∠AMB＋∠AEF＝180(，即A、E、F、M四点共圆． …5分



（Ⅱ）连结AC，CB．由A、E、F、M四点共圆，

所以BF·BM＝BE·BA．

在Rt△ACB中，BC2＝BE·BA，AC2＋CB2＝AB2，

所以AC2＋BF·BM＝AB2． …10分