嘉兴一中2013学年第一学期学科测试

高三数学（文科） 试题卷

满分[150]分 ，时间[120]分钟 2013年8月

选择题部分（共50分）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合
,
,若
,则
的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

2．设
则 ( )

A．
B．
C．
D．

3．如果执行右边的程序框图，那么输出的
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设
是三个互不重合的平面，
是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）

A．若
，则

B．若
，
，
，则

C．若
，
，则

D．若
，
，
，则

5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若
，则
（ ）

A． B． C． D．

6．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

7．已知向量
，向量
，则
的最大值和最小值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若
，则直线
被圆
所截得的弦长为 ( )

A．
B．1 C．
D．

9．已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为
，且
与
轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．

D．

10．若函数
有两个零点
，其中
，那么在
两个函数值中 ( )

A．只有一个小于1 B．至少有一个小于1 C．都小于1 D．可能都大于1

非选择题部分 (共100分)

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．若
，其中
，
是虚数单位，则复数

12．如图是某学校抽取的
个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前
个小组的频率之比为
，第
小组的频数为
，则的值
是 ．

13．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．

14．已知直线
与
垂直，则
的值是

15．若正数
满足
,则
的最大值是

16．定义在R上的奇函数
满足：当
时，
，则在R上，函数
零点的个数为

17．以下四个命题：①在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
，则
；②设
是两个非零向量且
，则存在实数λ，使得
；③方程
在实数范围内的解有且仅有一个；④
且
，则
；其中正确的是

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c．已知a=2c,且A-C=
．

(Ⅰ) 求
；

(Ⅱ) 当b=1时，求△ABC的面积S的值．

19．（本题满分14分）设数列
满足
，

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)令
，求数列
的前
项和
．

20．（本题满分14分）如图，在矩形
中，
，点
在边
上，点
在边
上，且
，垂足为
，若将
沿
折起，使点
位于
位置，连接
，
得四棱锥
．

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，直线
与平面
所成角的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

21．（本题满分15分）已知函数
，
；

(Ⅰ)若函数
在[1,2]上是减函数，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)令
，是否存在实数
，当
(
是自然对数的底数)时，函数
的最小值是
．若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．

22．（本题满分15分）已知点
，
是抛物线
上相异两点，且满足
．

（Ⅰ）若
的中垂线经过点
，求直线
的方程；

（Ⅱ）若
的中垂线交
轴于点
，求
的面积的最大值及此时直线
的方程．

嘉兴一中2013学年第一学期学科测试

高三数学（文科） 参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合
,
,若
,则
的值为（ D ）

A．0 B．1 C．2 D．4

2．设
则 ( B )

A．
B．
C．
D．

3．如果执行下面的程序框图，那么输出的
（ C ）

A．
B．
C．
D．

4．设
是三个互不重合的平面，
是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ B ）

A．若
，则
B．若
，
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，
，则

5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若
，则
（ A ）

A． B． C． D．

6．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数
的取值范围是( A )

A．
B．
C．
D．

7．已知向量
，向量
，则
的最大值和最小值分别为（ B ）

A．
B．
C．
D．

8．若
，则直线
被圆
所截得的弦长为 ( D )

A．
B．1 C．
D．

9．已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为
，且
与
轴垂直，则椭圆的离心率为（ C ）

A.
B．
C．

D．

10．若函数
有两个零点
，其中
，那么在
两个函数值中 ( B )

A．只有一个小于1 B．至少有一个小于1 C．都小于1 D．可能都大于1

非选择题部分 (共100分)

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．若
，其中
，
是虚数单位，则复数

12．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为1 8，则的值n是 48 ．

13．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 4 ．

14．已知直线
与
垂直，则
的值是 1或4

15．若正数
满足
,则
的最大值是 2

16．定义在R上的奇函数
满足：当
时，
，则在R上，函数
零点的个数为 3

17．以下四个命题：①在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
，则
；②设
是两个非零向量且
，则存在实数λ，使得
；③方程
在实数范围内的解有且仅有一个；④
；其中正确的是 ①②③④

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=2c,且A-C=
.

(Ⅰ) 求
；

(Ⅱ) 当b=1时，求△ABC的面积S的值.

解：

19．（本题满分14分）设数列
满足
，

(1)求数列
的通项公式；

(2)令
，求数列
的前
项和
.

解：（Ⅰ）

（2）

20．（本题满分14分）如图，在矩形
中，
，点
在边
上，点
在边
上，且
，垂足为
，若将
沿
折起，使点
位于
位置，连接
，
得四棱锥
。

（1）求证：
；（2）若
，直线
与平面
所成角的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值。

解：

21．（本题满分15分）已知函数
，
；

(1)若函数
在[1,2]上是减函数，求实数
的取值范围；

(2)令
，是否存在实数
，当
(
是自然对数的底数)时，函数