安徽省2014届高考5月压轴卷 数学理试题）

本试卷分第I卷（选择题）和第 II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟。满分：150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设是虚数单位,
，若
是一个实数，则该实数是（　　）．

A．
　　B．
　　C．
　　D．１

2. 平面区域
的面积是（ ）．

Ａ．
　　 Ｂ．
　　 Ｃ．
　　 Ｄ．

3. 如果执行右面的程序框图，那么输出的
，那么判断框内是（ ）．

Ａ．
　Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

4.为得到函数
的图象，只需将函数
的图象按照向量
平移，则
可以为（　　）．

A．
　　B．
　　C．
　D．

5. 向量
，
，若函数
是奇函数，则可以是

Ａ．
　　 Ｂ．
　　 Ｃ．
　　 Ｄ．

6.若双曲线
的右顶点与右焦点到双曲线渐近线的距离的和为
，则双曲线的离心率为（ ）．

Ａ．
　　 Ｂ．
　　 Ｃ．　　 Ｄ．

7. 直线
被圆
所截得的弦长等于圆的半径，则实数

Ａ．
　Ｂ．
　　　Ｃ．１　　　　Ｄ．

8. 使函数
在
上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）．

Ａ．
　　 Ｂ．
　　 Ｃ．
　　 Ｄ．

9. 已知向量
满足
，
与
的夹角为
，则
的夹角是

Ａ．
　　　　　 　　Ｂ．
　　　　　　　　 Ｃ．
　　　　　　　　 Ｄ．

10. 若
分别是直线
和曲线
上的点，则
的最小值是（ ）．

Ａ．
　　 Ｂ．2　　 Ｃ．
　　 Ｄ．

第Ⅱ卷 （100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上）

11.在
的展开式中，次数最高的项的系数是　　　　．（用数字作答）

12.从0至4五个自然数中任意取出不同三个，分别作为关于的方程
的系数，则所得方程有实数解的取法有　　　　　．

13. 数列
的前项和为
，若
，则数列
的前6项和是 ．

14.已知点
，点是抛物线
上任意一点，则
的最小值是 ．

15. 在正方体
中，点
分别是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）在
中，内角
所对边长分别为
，
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
的面积是１，求
．

17．（本小题满分12分）设
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线方程为
，求
的值；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间与极值．

18．（本小题满分12分）在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的5次培训成绩如下茎叶图所示：

（Ⅰ）从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；

（Ⅱ） 从乙的5次培训成绩中随机选择2个，记被抽到的分数超过110分的个数为
，试求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分13分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
，
是正三角形，平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）（ 设二面角
的大小为，直线
与平面
所成角的大小为
，求
的值．

20．（本小题满分13分）

已知数列
满足奇数项
成等差数列
，而偶数项
成等比数列
，且
，
成等差数列，数列
的前项和为
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设
，试比较
与
的大小．

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
，
为坐标原点，椭圆的右准线与轴的交点是．

（Ⅰ）点在已知椭圆上，动点
满足
，求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点
，求
的面积的最大值．

2014安徽省高考压轴卷数学（理科）参考答案

1．【 答案】B.

【 解析】
，当
时，所得实数是
．

2.【 答案】A．

【解析】区域是圆心角是
是扇形，故面积是
．

3.【 答案】A．

【 解析】当判断框内是
时，

，若
，则
．

4.【 答案】Ａ．【 解析】
，
，比较可得．

5.【 答案】D．

【 解析】
是奇函数，则
．

6.【 答案】C．【 解析】右顶点
与右焦点
到双曲线渐近线
的距离的和为
，解得离心率为
．

7.【 答案】Ｂ．

【 解析】圆的方程即
，圆心
到已知直线的距离
，解得
．

8.【 答案】C．

【 解析】可得
，即
，所求应该是
的真子集．解答本题易忽视连接点，认为两段都是递减就可以了；或者以为是求的充要条件．

9.【 答案】Ｂ．

【 解析】
与
的夹角为
，且
则有
，得
，设
的夹角为
，则
，则
．

10.【 答案】A．

【 解析】求导
，得切点为
，切点到直线
的距离即为
的最小值．

11.【 答案】
．

【 解析】所求为
．

12.【 答案】30．

【 解析】所有取法分两类：若
，则有
个方程有解；若
，则需要满足判别式
，若
，则
，符合条件的方程有
个；若
，则
，符合条件的方程有
个．故共有30个．

13.【 答案】120．

【 解析】可求得
，
．

14.【 答案】
；

【 解析】设
，则
，当且仅当
时取到等号．

15.【 答案】
．

【 解析】设
的中点是
，棱长为2，连接
，则
，
为所求，在
中，
，
，可得
．

16．【 答案】解：（Ⅰ）由
，
，可得
，
；…………2分

，由正弦定理，
，则
，故
，
．…4分

由
，

．…………6分

（Ⅱ）由
的面积是１，可得
，得
．…………9分

．…………12分

17．【 答案】解：求导可得
．…………2分

（Ⅰ）由
，
，…………4分

解得
，
．…………5分

（Ⅱ）函数
的定义域是
．

当
时，
，
．…………7分

令
，求导可得
．…………8分

当
时，
，则
，
是减函数；…………9分

当
时，
，则
，
是增函数．…………10分

故
的单调增区间是
，减区间是
，当
时，
有极小值
．…12分

18．【 答案】解：甲、乙两人的平均成绩分别是
，

．……………2分

甲、乙两人成绩的方差分别是

，

．4分

由
，
，可知甲和乙成绩的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥比甲稳定，故选择乙．……………6分

（Ⅱ）
可以取
．……………7分

；……………8分

；……………9分

．…………10分

0

1

2














的分布列为

…………11分

期望
．………12分

19．【 答案】证明：由
，
，
，利用余弦定理，可得

，…2分

故
，又由平面
平面
，可得
平面
，又
平面
，故
．……………5分

（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）知
平面
，故
为二面角
的平面角，在正
中，可得
．

又
平面
，故平面