绵阳市高中2012级第一次诊断性考试数学（理工类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。第I卷1至2页，第II卷2至4页.共4页。满分150分。考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=

(A) ?? (B) {2} (C) {0} (D) {-1}

2．下列说法中正确的是

(A) 命题“
，
”的否定是“
，
≤1”

(B) 命题“
，
”的否定是“
，
≤1”

(C) 命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

(D) 命题“若
，则
”的逆否命题是“若
≥
，则≥”

3．设各项均不为0的数列{an}满足
(n≥1)，Sn是其前n项和，若
，则S4=

(A)? 4
(B)

(C)
(D)

4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则
=

(A) ?-3 (B)

(C) 3 (D)

5．已知
，那么
=

(A)
? (B)
(C)
? (D)

6．已知x，y满足
则2x-y的最大值为

(A)? 1 (B) ?2 (C) ?3 (D) ?4 http://www 7．已知x∈[
，]，则“x∈
”是“sin(sinx)

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分不必要条件 (D)??既不充分也不必要条件

8．
是定义在非零实数集上的函数，
为其导函数，且
时，
，记
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

9．已知函数
的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

10．已知
R，且
≥
对x∈R恒成立，则
的最大值是

(A)
(B)
(C)
????????? (D)

第II卷（非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第II卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若
，则
_______．

12．已知向量a=(1，2)，b=(2，0)，若向量λa+b与向量c=(1，-2)共线，则实数λ=______．

13．某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C=100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为
．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_______．

14．已知函数f (x)=
，则f (
)＋f (
)＋f (
)＋…＋f (
)=______．

15．定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点．例如y=| x |是
上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：

① 函数
是
上的“平均值函数”．

② 若
是
上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥
．

③ 若函数
是
上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是
．

④ 若
是区间[a，b] (b>a≥1)上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，则
．

其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函数
2m·n-1的最小正周期为π．

(Ⅰ) 求ω的值；

(Ⅱ) 求函数
在[
，
]上的最大值．

17．（本小题满分12分）

已知函数f (t)=log2(2-t)+
的定义域为D．

(Ⅰ) 求D；

(Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，
．

(Ⅰ) 若
，求
的值；

(Ⅱ) 若是边
中点，且
，求边
的长．

19．（本小题满分12分）

记公差不为0的等差数列
的前项和为
，
，
成等比数列．

(Ⅰ) 求数列
的通项公式
及
；

(Ⅱ) 若
，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列
为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知函数
(e为自然对数的底数)，a>0．

(Ⅰ) 若函数
恰有一个零点，证明：
；

(Ⅱ) 若
≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

21．（本小题满分14分）

已知函数
(m，n为常数，
…是自然对数的底数)，曲线
在点
处的切线方程是
．

(Ⅰ) 求m，n的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ) 设
(其中
为
的导函数)，证明：对任意
，
．

绵阳市高2012级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DBDAC BCCDA

10题提示：由
≥
对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤
-ax．

若a=0，则ab=0．

若a>0，则ab≤a
-a2x．设函数

，求导求出f(x)的最小值为
．

设
，求导可以求出g(a)的最大值为
，

即
的最大值是
，此时
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．-1 13．40 14．3021 15．①③④

15题提示：①容易证明正确．

②不正确．反例：
在区间[0，6]上．

③正确．由定义：
得
，

又

所以实数的取值范围是
．

④正确．理由如下：由题知
．

要证明
，即证明：
，

令
，原式等价于
．

令
，则
，

所以
得证．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)
2m·n-1

=
． ……………………………6分

由题意知：
，即
，解得
．…………………………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
，

∵
≤x≤
，得
≤
≤
，

又函数y=sinx在[
，
]上是减函数，

∴
…………………………………10分

?=
．…………………………………………………………12分

17．解：(Ⅰ) 由题知
解得
，即
．……………………3分

(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=
，此二次函数对称轴为
．……4分

① 若
≥2，即m≤-2时， g (x)在
上单调递减，不存在最小值；

②若
，即
时， g (x)在
上单调递减，
上递增，此时
，此时值不存在；

③
≤1即m≥-1时， g (x)在
上单调递增，

此时
，解得m=1． …………………………11分

综上：
． …………………………………………………………………12分

18．解：(Ⅰ)
，
，

由余弦定理：
=52+22-2×5×2×
=25，

． ……………………………………………………………………3分

又
，所以
，

由正弦定理：
，

得
．………………………………………6分

(Ⅱ) 以
为邻边作如图所示的平行四边形
，如图，

则
，BE=2BD=7，CE=AB=5，

在△BCE中，由余弦定理：
．

即
，

解得：
． ………………………………………………………………10分

在△ABC中，
，

即
．…………………………………………………………………12分

19．解：(Ⅰ) 由
，

得：
解得：
．

∴
，
． …………………………………5分

(Ⅱ) 由题知

．

若使
为单调递减数列，则

-

=
对一切n∈N*恒成立， …………………8分

即：
，

又
=
，……………………10分

当
或时，
=
．

．………………………………………………………………………12分

20．(Ⅰ)证明： 由
，得
．…………………………1分

由
>0，即
>0，解得x>lna，同理由
<0解得x

∴
在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数，

于是
在
取得最小值．

又∵ 函数
恰有一个零点，则
， ………………… 4分

即
．………………………………………………………… 5分

化简得：
，

∴
． ………………………………………………………………… 6分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，
在
取得最小值
，

由题意得
≥0，即
≥0，……………………………………8分

令
，则
，

由
可得01．

∴
在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即
，

∴ 当01时，h(a)<0，

∴ 要使得
≥0对任意x∈R恒成立，

∴的取值集合为
……………………………13分

21．解：(Ⅰ)由
得
(
)．

由已知得
，解得m=n．

又
，即n=2，

∴ m=n=2．……………………………………………………………………3分

(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得
，

令

，
，

当x∈(0，1)时，
；当x∈(1，+∞)时，
，

又
，所以当x∈(0，1)时，
； 当x∈(1，+∞)时，
，

∴
的单调增区间是(0，1)，
的单调减区间是(1，+∞)．……8分

(Ⅲ) 证明：由已知有