四川省绵阳市重点高中2015届高三上学期第五次月考 数学文

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集U={1，2 ，3 ，4，5}，集合
则集合
中的元素的个数为 （ ）1B

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2.已知
( )2 C

A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i

3．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，lα，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题个数是 （ ）3选B．

A．1 B．2 C．3 D．4��

4、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，

输出的结果是 4 B

（B）

（C）

（D）

5．在△OAB中，
，若
，则
( ) 5 D

A．
B．
C．
D．

6．【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】设
是等差数列
的前项和，若
，则
＝( )

A.1 B.－1 C. 2 D.

.

7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为
值域为{9}的“孪生函数”三个：

（1）
； （2）
；

（3）

那么函数解析式为
值域为{1，5}的“孪生函数”共有 （ ）

7 B

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

8.已知变量x，y满足
的值范围是 8 A

9.函数
是定义在上的偶函数，且满足
.当
时，
.若在区间
上方程
恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是9 A

（A）
(B)
(C)
(D)

10. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C

地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流

的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离

比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上

选一处M建一座码头，向B、C两地转运

货物.经测算，从M到B、M到C修建公

路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，

那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．(2
－2)a万元 B．5a万元

C．(2
+1) a万元 D．(2
+3) a万元

10．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2－＝1，点C的坐标为（3，）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点M 、C ，根据双曲线的定义有|M M|=|MB|，所以=2a[|M M|+|MC|]≥2a|C C|=2a×（3-）=5a.当且仅当点M在线段C C上时取等号，故ω的最小值是5a.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

抛物线
的准线方程是 .

11。

已知函数
（>0,
）的图象如右图所示，则

= .

12．

13.已知抛物线
经过圆
的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为 ．

14.已知函数
在
上恒正，则实数的取值范围是

14、

15.方程
的曲线即为函数
的图像，对于函数
，有如下结论：①
在R上单调递减；②函数
不存在零点；③函数
的值域是R；④若函数
和
的图像关于原点对称，则函数
的图像就是方程
确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 .

15 ①②③

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16． (本小题满分12分)在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a,b,c，其中c=10，且

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积。

16． (本小题满分12分)

（1）证明：根据正弦定理得，

整理为：

因为0

所以A=B，或者A+B=
3分

由于

故△ABC是直角三角形。 5分

（2）由（1）可得：a=6,b=8.

在Rt△ABC中，

8分

连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5。

所以四边形ABCP的面积S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC

=

10分

17(本小题满分12分)

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组
；第二组
，……，第五组
．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

（II）设、表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知
，求事件“
”的概率.

18．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。

（1）若
，求证：平面
平面
；

（2）点
在线段
上，
，试确定的值，使
平面
；

19．已知函数
在（0，+∞）上的最小值是
（n∈N+））．

（1）．求数列｛
｝的通项公式．

（2）．证明：
<
．

（3）．在点列
…….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ ．，使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．

19解：（1）．由f (x)=2n
－x，得
=
……………1分．

令
=0，得x=
……………………2分．

当x∈(0 ,
)．时，
<0．当x∈ (
,+∞)时，
>0．

∴f (x )在0，+∞．上有极小值f (
) =
．

∴数列｛an｝的通项公式an=
…………………………………5分．

（2）．∵

………………………6分．．

∴
=

………………8分．

（3）．依题意，设Ai2i , ai．，Aj2j , aj．其中i, j∈N+ ．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=

……………………9分．

=1……………………11分．

∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1……………………12分．．

20．（本小题满分13分）设F是椭圆
的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知

（1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN； （3）求三角形ABF面积的最大值。

20．(本小题满分13分)

解（1）

………………………………（分）（2）（2）当AB的斜率为0时，显然
满足题意

当AB的斜率不为0时，设
，AB方程为
代入椭圆方程

整理得

则

综上可知：恒有
.………………………………（9分）

（3）（理科）

当且仅当
（此时适合△＞0的条件）取得等号.

三角形ABF面积的最大值是
………………………………（13分）

21．(本小题共l4分)

已知函数
，函数f（x）是函数g（x）的导函数．

（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；

（2）若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有
，求实数a的取值范围；

（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

解答：

解：（1）当a=1时，g（x）=
x3+2x2﹣2x，g′（x）=x2+4x﹣2 …（1分）

由g′（x）＜0解得﹣2﹣
＜x＜﹣2+
…（2分）

∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （﹣2﹣
，2+
）；…（3分）

（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x﹣2

依题意知
=a（
）2+4×
﹣2﹣

=﹣
（x1﹣x2）2＜0 …（5分）

因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）

（3）易知f（x）=ax2+4x﹣2=a（x+
）2﹣2﹣
，a＞0．

显然f（0）=﹣2，由（2）知抛物线的对称轴x=﹣
＜0 …（7分）

①当﹣2﹣
＜﹣4即0＜a＜2时，M∈（﹣
，0）且f（M）=﹣4

令ax2+4x﹣2=﹣4解得 x=
…（8分）

此时M取较大的根，即M=
=
…（9分）

∵0＜a＜2，∴M=
=
＞﹣1 …（10分）

②当﹣2﹣
≥﹣4即a≥2时，M＜﹣
且f（M）=4

令ax2+4x﹣2=4解得 x=
…（11分）

此时M取较小的根，即 M=
=
…（12分）

∵a≥2，∴M=
=
≥﹣3当且仅当a=2时取等号 …（13分）

由于﹣3＜﹣1，所以当a=2时，M取得最小值﹣3 …（14分）