考试时间：120分钟；满分150分

第I卷（选择题）

一、选择题：共12题 每题5分 共60分

1．设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱
<4｝，则

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】本题考查集合间的基本关系。Q=｛x︱
｝，所以
。选B。

2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(　　)

A. B．

C．2 D．－1＋3i

【答案】　B

【解析】　原式＝|－1＋3i|＝＝.

3．命题“对任意
都有
”的否定是

A.对任意
，都有
B.不存在
，使得

C.存在
，使得
D.存在
，使得

【答案】D

【解析】本题考查本题考查全称量词与存在量词。根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意
都有
”的否定是：存在
，使得
.所以选D.

4．函数
的图象大致为

【答案】A

【解析】本题考查三角函数的图像和奇函数的图像性质。首先由
为奇函数，得
的图象关于原点对称，排除C、D，又由
时，
知，所以选A.

5．定义在上的奇函数
满足
，当
时，
，则
在区间
内是

A.减函数且
B.减函数且

C.增函数且
D.增函数且

【答案】B

【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性。

由此可知函数的周期为2，根据复合函数判断可知函数
利用函数和周期性可知B正确.

6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m ＋n)⊥(m－n)，则λ＝

A.－4 B.－3 C.－2 D.－1

【答案】B

【解析】本题考查平面向量的数量积。由题意得：

，即
，解得
；选B。

7．已知实数
满足约束条件
，则
的最大值等于

A.9 B.12 C.27 D.36

【答案】B

【解析】本题主要考查线性规划问题.

作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点
A处取到最大值，解得
故选B。

8．已知两条直线
和
,
与函数
的图象从左至右相交于点
,
与函数
的图象从左至右相交于点
.记线段
和
在轴上的投影长度分别为
,当变化时,
的最小值为

A.
B. C. D.

【答案】B

【解析】本题考查函数的图像与性质。令A,B,C,D各点的横坐标分别为
，可得：
，
，
，
；即
，
，
，
；所以
，
；所以
，当m=1时，等号成立；所以
的最小值为8。选B。

9．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】本题考查的知识点为三视图求面积、体积.由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥,

故本题正确答案是C

10．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是

A.21 B.39 C.81 D.102

【答案】D

【解析】本题考查流程图。循环1次，s=3，n=2；循环2次，s=21，n=3；循环3次，s=102，n=4，此时不满足条件，结束循环，输出102.选D。

11．设
，则

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】本题考查指数与对数的比较大小。
，
，
，所以
；选B。

12．下列说法正确的是

A.若
，则

B.函数
的零点落在区间
内

C.函数
的最小值为2

D.若
，则直线
与直线
互相平行

【答案】B

【解析】本题考查命题的真假。若a=1，b=-1，不等式不成立，排除A；
，而且函数
在区间
内单增，所以
在区间
内存在唯一零点，B正确；令x=-1，则
，不满足题意，C错；若
，则直线重合，D错；所以选B。

第II卷（非选择题）

二、填空题：共4题 每题4分 共16分

13．已知集合
，
，则
?????????? .

【答案】
.

【解析】本题考查交集及其运算；
，

.

14．已知函数
的最大值为1，则
　　　　.

【答案】

【解析】本题考查三角函数的性质与三角变换。
=
；又因为函数的最大值为1，所以
，解得

。

15．已知向量
与向量
的夹角为
，若
且
，则
在
上的投影为???

【答案】

【解析】本题主要考查平面向量的运算.

因为向量
与向量
的夹角为
，所以
在
上的投影为
，问题转化为求
，

因为

故

所以
在
上的投影为
.

16．给出定义：若
，则叫做实数的“亲密函数”，记作
，在此基础上给出下列函数
的四个命题：

①函数
在
上是增函数；②函数
是周期函数，最小正周期为1；

③函数
的图像关于直线
对称；

④当
时，函数
有两个零点.

其中正确命题的序号是????????????????????????????

【答案】②③④

【解析】本题主要考查新定义函数，函数的单调性、周期性、对称性以及函数的零点问题.要求能根据定义画出函数的图像，从中体会数形结合思想的应用.依题可知当
时，
；当
时，
；当
时，
，作出函数的图像，

可知①错，②，③对，再作出
的图像可判断有两个交点，④对.

三、解答题：共6题 每题12分 共74分

17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、
、.已知向量
，
，且
.

(1)求
的值；

(2)若
，求△ABC的面积S.

【答案】(1)由
可得b(cosA﹣2cosC)+(a﹣2c)cosB=0

根据正弦定理可得，sinBcosA﹣2sinBcosC+sinAcosB﹣2sinCcosB=0

∴(sinBcosA﹣sinAcosB)﹣2(sinBcosC+sinCcosB)=0

∴sin(A+B)﹣2sin(B+C)=0

∵A+B+C=π

∴sinC﹣2sinA=0

(2)因为a=2，
，所以b=3，

所以
，

所以△ABC的面积为

【解析】主要考查了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的应用；(1)由
可得b(cosA﹣2cosC)+(a﹣2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA﹣2sinBcosC+sinAcosB﹣2sinCcosB，化简即可.(2)由(1)c=2a可求c，由
可求b，结合余弦定理可求cosA，利用同角平方关系可求sinA，代入三角形的面积公式
可求.

18．（12分）已知数列
满足
.

（Ⅰ）证明数列
是等差数列；（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
，求数列
的前项和
.

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得
，所以
，即
，又因为
，所以
.所以数列
是首项为2，公差为1的等差数列.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知
，所以
.

（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知，
，

所以???????
，??? ①

①
得??
????②

②—①得?

=
.

【解析】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的概念、通项公式，等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.

19．（13分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F,G,H分别为PB，EB，PC的中点。

（1）求证：FG∥平面PED；

（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.

【答案】(1)证明：因为F,G分别为PB，EB的中点，所以FG∥PE.

又
平面
，PE平面PED，

所以FG∥平面PED

（2）因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以PD⊥平面ABCD

因为AD,CD在平面ABCD内，所以PD⊥AD,PD⊥CD.

?四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD。

以D为原点,分别以直线DA,DC,DP为轴,轴,轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1。 因为 AD=PD=2EA，

，
，
，

，
，
,

,
.

因为F,G,H分别为PB，EB，PC的中点，

，

，

,
,

（解法一)设
为平面
的一个法向量，则
,

即
，令
，得
.

设
为平面
的一个法向量,则
,

即
，令
，得
.

所以
=
=
.

所以平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
）

（解法二)
，
,

是平面
一个法向量.

，
,

是平面平面
一个法向量.

平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
）.

（解法三) 延长
到
使得
连

，EA∥
，

四边形
是平行四边形，PQ∥AD

四边形
是正方形，所以BC∥AD,PQ∥BC.

因为F,H分别为
，
的中点，所以FH∥BC,FH∥PQ.

因为FH平面PED，
平面
，
∥平面PED.

平面
平面FGH∥平面

故平面
与平面
所成锐二面角与二面角
相等.

平面

平面

平面

是二面角
的平面角.

平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
）.

【解析】本题考查线面平行，空间角问题。

20．（10分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．

(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

【答案】　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P(A)＝＝＝，

P(B)＝＝＝.

(2)解法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

P(·)＝P()·P()＝×＝.

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝1－P(·)＝1－＝.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

解法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.

21．（13分）抛物线
:
（
）,焦点为，直线
?交抛物线
于、两点,是线段
的中点,过作轴的垂线交抛物线
于点
.

（1）若抛物线
上有一点
到焦点的距离为
，求此时的值；

（2）是否存在实数，使
是以
为直角顶点的直角三角形？若存在，求

出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线
的焦点
。
，得
。

（或利用
得
，
或
（舍去））

(2)联立方程
，消去得
，

设
，则
（），

是线段
的中点，
，即
，

，得
，

若存在实数，使
是以
为直角顶点的直角三角形，则
，

即
，

结合（）化简得
，

即
，
或
（舍去），

存在实数
，使
是以
为直角顶点的直角三角形。

【解析】本题考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

22．（14分）已知函数
（t为参数）

（1）写出函数
的定义域和值域；

（2）当
时，求函数
解析式中参数t的取值范围；

（3）当
时，如果
，求参数t的取值范围。

【答案】（1）函数
的定义域为（﹣1,+∞），值域为R。

（2）∵2x+t＞0，所以t >-2x，x∈[0,1]，∴t >0。

（3）∵当x∈[0,1]时，
，所以
∴

令
，则
，

故函数
为减函数，故当x=1时，函数
取得最大值为1，

∴t ≥1。

【解析】本题考查函数的性质，导数在研究函数中的应用。