江苏省泰州中学、扬州中学、靖江中学2015届高三下学期期初联考

数学试题

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．已知集合
，
，则
▲ ．

2．复数
（
是虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为 ▲ ．

3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的
▲ ．

4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小

于9的概率是 ▲ ．

5．已知样本
的平均数是5,则此样本的方差为 ▲ ．

6．已知函数
的最小正周期为π，则f(x)

在
上的单调递增区间为
，
，则实数
▲ ．[来源:Z+xx+k.Com]

7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为
，
，则
的值是 ▲ ．

8. 抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形的面积等

于 ▲ ．

9．已知
，则
的最小值为 ▲ ．

10．在平面直角坐标系
中，若曲线
(
为常数)在点

处的切线与直线
垂直，则
的值为 ▲ ．

11．设等差数列
的前
项和为
，且满足
（
）则
=___▲___．

12．已知函数
是定义
在R上的偶函数，且当
时，
．若关于
的方程
恰有10个不同实数解，则
的取值范围为 ___▲ ．

13．在直角
中，
，斜边
上有异于端点两点
的两点

，且
，则
的取值范围是 ▲ ．

14．已知三个正数
满足
，
，则
的最小值

是 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15（本小题满分14分）

设平面向量
＝
，
，
，
．

（1）若
，求
的值；

（2）若
，求函数
的最大值，并求出相应的
值．

16（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，
为棱
的中点，
，
.

求证：(1)

平面
；

(2)
∥平面
.

17（本小题满分14分）

如图，椭圆
和圆
，已知椭圆
过点
，焦距为2.

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 椭圆
的下顶点为
，过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点
，直线
与椭圆
的另一个交点分别是点
.设
的斜率为
，直线
斜率为
，求
的值.

18（本小题满分16分）

在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B． 现测得
千米，
（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为
．为了求总运费
的最小值，现提供两种方案：方案一：设
千米；方案二设
．

（1）试将
分别表示为
、
的函数关系式
、
；

（2）请选择一种方案，求出总运费
的最小值，并指出C点的位置．

19（本小
题满分16分）

已知数列
、
满足
，
，其中
，则称
为
的“生成数列”．

（1）若数列
的“生成数列”是
，求
；

（2）若
为偶数，且
的“生成数列”是
，证明：
的“生成数列”是
；

（3）若
为奇数，且
的“生成数列”是
，
的“生成数列”是
，…，依次将数列
，
，
，…的第
项取出，构成数列
．

探究：数列

是否为等比数列，并说明理由．

20（本小题满分16分）

已知函数
，
．[来源:学科网ZXXK]

（1）记
,求
在
的最大值；

（2）记
，令
，
，当
时，若
函数
的3个极值点为
，

（ⅰ）求证：
；

（ⅱ）
讨论函数
的单调区间（用
表示单调区间）．

高三第二学期期初联考数学附加题

(考试时间：30分钟 总分：40分)

21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．

A．（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E. 证明： AD·DE＝2PB2.

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）

设矩阵
，
，若
，求矩阵M的特征值．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线
的参数方程为：
(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线
与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．

D．（本小题满分10分，不等式选讲）

已知实数
满足
，求
的最小值.

［必做题
］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分)

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝1，AD＝
，E为线段PD上一点，记
． 当
时，二面角
的平面角的余弦值为
．

（1）求AB的长；

（2）当
时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值．

23.（本小题满分10分)

已知数列
通项公式为
，其中

为常数，且
，
．等式
，其中
为实常数．

（1）若
，求
的值；

（2）若
，且
，求实数
的值．

[来源:学科网ZXXK]

[来源:Zxxk.Com]

一、填空题

1．
； 2．4； 3．9； 4．
； 5．2；

6．
； 7．
； 8．
； 9．
； 10．
；

11．3； 12．
； 13．
； 14．
．

二
、解答题

15．解：（1）若
，则
，
………2分

即
………4分

所以
. ………6分

（

16．证明：（1）因为
，[来源:学+科+网][来源:学,科,网]

所以
，所以
； ………3分

又因为
，得
，所以
.

………6分

又
，所以

平面
； ………8分

（2）连接
交
与点
，连接
，在
中，
分别为
的中点，所以
，又
，所以
∥平面
．

………14分

17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得
，所以椭圆
的方程为
．

………4分

解法二：由椭圆的定义求得
，所以椭圆
的
方程为
．

………4分

由
得
或

. ………6分

用
去代
，得
， ………8分

则
………10分

由
得
或

.
………12分

则
，所以
． ………14分

………5分

方案二：在
中，

，

，

………9分

(2)若用方案一，则

………11分

由
得

………14分

，这时
，C距A地
千米

………16分

若用方案二，则
………11分

在
，在
[来源:Zxxk.Com]

………14分

这时
，C距A地
千米 ………16分

19．（1）解：
，

同理，
.
………4分

（写对一个
得1分，总分4分）

（2）证明：

………7分

∵
为偶数，将上述
个等式中第2，4，6，…，
这
个式子