江西省上饶市2015届高三第二次高考模拟

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上．

2．回答第I卷时．选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效，

第I卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的一项。

1．定义运算(a，b)※((c，d) =ac－bd，则符合条件(z，1+2i)※(1+i，1－i)=0的复数z所对应的点在

A.第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

2．一算法的程序框图如图，若输出的y=
，则输入的x

的值可能为

A. －1 B.0

C．1 D．5

3．把函数
图象上所有点的横坐标伸长

为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向

右平移
个单位，得到图象的解析式为

A. y=5cosx B．y=5cos4x

C．y=－5 cosx D．y=－5 cos4x

4．已知直线a，b，平画
，且a⊥
，
，则“a⊥b”是“
∥
”的

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．三个实数a、b、c成等比数列，若a+-b+c=l成立，则b的取值范围是

A．(0，
] B．[-1，
] c．[－
，0) D．

6．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为

A(0，－1)，B(
，－1)，C（
，1），D(0，1)，正弦曲线

和余弦曲线
在矩形ABCD

内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，

则该点落在阴影区域内的概率是

A．
B．

C．
D．

7．设
为非零向量，
，两组向量
和
均由2个
和2个
排列而成．若．
的所有可能取值中的最小值为
，则
与
的夹角为

A．
B．
C．
D．

8．已知点E、F、G分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1、CC1、

DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE-、C1B1上．以

M、N、Q、P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是

9．对于任意的x∈R，不等式
恒成立．则实数a的取值范围是

A. a<2
B．a≤2
C．a≤3 D．a<3

10.已知O为坐标原点，向量
.若平面区域D由所有满足
的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是

A．
B.
C．
D．

11.已知双曲线
是实轴顶点，F是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2 (i=l，2)构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12.斜率为k（k≠0）的两条直线分别切函数
的图象于A，B两点．若直线AB的方程为y=2x－l，则t十k的值为

A.8 B．7 C．6 D．5

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第(22)

题第(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

13.函数
，的定义域是

14．正偶数列有一个有趣的现象：

①2+4=6 ②8+10 +12=14+16;

③18+20+22+24=26+28+30,…

按照这样的规律，则2016在第 个等式中。

15.若
，对于
，都有
成立，则m的最大值是

16.如图，A是两条平行直线
之间的一个定点，且A到
的距

离分别为AM=1，AN=2，设△ABC的另两个顶点B，C分别在

上运动，且AB

①△ABC是直角三角形； ②
的最大值为
；

③S代表图形面积，则(S四边形MBCN)min=(S△ABC)min+(S△AMB+S△ACN)min；

④设△AMB的周长为yl，△ACN酌周长为y2，则(y1+y2)min=10．

正确的命题是 。（填正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题1 2分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC－
。

(1)求角B；

(2)若b=7，求△ABC,的周长的最大值．

18.（本小题12分）江西省2014年全省高中男生身

高统计调查数据显示：全省100000名男生的身

高服从正态分布N(170.5，16).现从我校高三年

级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被

测学生身高全部介于157. 5cm和187.5 cm之

间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组

[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5），…，第6

组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到

的频率分布直方图．

(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

(2)求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；

(3)在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为
，求
的数学期望．

参考数据：

若

19.（本小题12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面

ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

(1)求证：AC⊥平面BDE;

(2)求二面角F- BE-D的余弦值；

20.（本小题12分）如图，已知点S(-2，0)和圆
是圆O的直经，从左到右M、()和N依次是ST的四等分点，P(异于S、T)是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D，
，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．

(1)求
的值及点C的轨迹曲线E的方程；

(2)设n是过原点的直线，
是与n垂直相交于Q点、与

轨迹E相交于A，B两点的直线，
，是否存

在上述直线
，使
成立？

若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由。

21.（本小题12分）已知二次函数
，关于x的不等式
的解集为(m，m+1)，m≠0)，设
．

(1)求“的值；

(2)k（k∈R）如何取值时，函数
存在极值点，并求出极值点；

(3)着rn=l，且x>0，求证：
．

请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题10分）选修4-4:参数方程选讲

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D。

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求“的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值

23．（本小题10分）选修4-5:不等式选讲

设函数
的最小值为，”

（2）当
时，求a2+b2+c2的最小值．

参考答案

一、选择题：1~5 ：ACCBD，6～10：BACDA ， 11~12 ：DB

二、填空题：13、
14、31 15、8 16、①②④

三、解答题：

17、解：（1） 因为
…………2分

，
…………………………6分

（2）由
,得
，……………7分

，

周长的最大值为21……………………………………12分

18、解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

高于全省的平均值170.5 ……4分

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………6分

（Ⅲ）

，

，0.0013×100 000=130.

所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.

随机变量
可取
，于是

,
,

. ………………………………12分

19、解析：(1)证明： 因为
平面
， 所以
. ……………3分

因为
是正方形，所以
，又
相交从而
平面
. …………6分

(2)解：因为
两两垂直，所以建立空间直角坐标系
如图所示.因为
与平面
所成角为
，即
，

所以
.由
可知
，
. …8分

则
，
，
，
，
，

所以
，

设平面
的法向量为

，则
，即
，令
，则

.

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
.

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. ………12分

20、解析：(1)易得
，
，
，设
，则
，

直线PS与TE交于C，故
，
① 且
，② 。 ……2分

①②相乘得
，又点P是圆O上的动点，故
即
，4分

要使
为定值，则
解得
此时

即
时，点C的轨迹曲线E的方程为
…………6分

（2）设A，B两点的坐标分别为
，假设使
成立的直线
存在，

（ⅰ）当
不垂直于x轴时，设
的方程为
，

由
与
垂直相交于Q点且|
|=1.得
，即
…………7分

∵

∴

即
，将
代入椭圆方程，得

由求根公式可得
， ④
⑤

=

=

将④，⑤代入上式并化简得
⑥

将
代入⑥并化简得
，矛盾 即此时直线
不存在 …………10分

（ⅱ）当
垂直于x轴时，满足
的直线
的方程为x=1或x=-1，

当X=1时，A,B,Q的坐标分别为
，∴
，

∴
当x=-1时，同理可得
，矛盾 即此时直线
也不存在

综上可知，使
成立的直线
不存在. …………12分

21、（1）解：∵关于
的不等式
的解集为
，

等价于
的解为
，

∴
. ∴
. …………3分

（2）解:由（Ⅰ）得

.

∴



的定义域为
.由


.

由题意，函数

存在极值点等价于函数
有两个不等的零点，且至少有一个零点在
上. 令


,

得

, (*)

则
,(**)

方程（*）的两个实根为
,
.

①当
时，
，方程（*）的两个实根为

则函数
在
上单调递减，在
上单调递增.

∴函数
有极小值点
.

②当
时，由
,得
或
，

若
，则

故

时，