龙海二中2014-2015学年上学期期末考试高三理科数学

（时间：120分钟 满分：150分）

命题：龙海二中 高志荣

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，集合
，则
等于( ).

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
（是虚数单位），则( ).

A．
B．的实部为

C．的虚部为
D．的共轭复数为

3．为了调查任教班级的作业完成的情况，将班级里的52名学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（ ）.A．13 B．17 C．18 D．21

4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 ( ).

A．3 B．4 C．6 D．8

5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） .

A.
B.
C.
D.

6．已知函数
若直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

7. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )

A．若
，则
B．若
，
，则

C．若
，则
D．若
，
，则

8. 若
，则目标函数
的取值范围是( )

A．[2，5] B．[1，5] C．[
，2] D．[2，6]

9．函数
的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，要得到函数
的图像，只需将
的图像( )

A.向左平移
个单位 B.向右平移
个单位

C.向左平移
个单位 D.向右平移
个单位

10．抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：－y2＝1的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．已知a＞0，b＞0，a＋b＝a· b，则y＝a＋b的最小值为 .

12．若直线
与圆C：
相交于A、B两点,则
的值为 ___ ．

13. 在二项式
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含
项的系数是___ ．

14.数列
为等差数列，且
，则数列
的通项公式是___ ；

15.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）
中，角、、
所对应的边分别为、
、，若
.(1)求角；（Ⅱ）设
的最大值.

17.（本小题满分13分）学校为了解同学们对年段和班级管理的满意程度，通过问卷调查了高一年的学生、高二年的学生、高三年的学生共250人，结果如下表：

高一年的学生

高二年的学生

高三年的学生



满意

78



75



不满意

12



5



（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则高二年的学生应抽取多少人？

（Ⅱ）若
，求问卷调查中同学们对年段和班级管理的满意度不小于
的概率.

(注：
)

（Ⅲ）若高三年级的某班级中的10个学生中有2个对年段和班级的管理不满意，老师从这10个学生中随机选择2个学生进行问卷调查，求这2个学生中对年段和班级的管理不满意的人数(的期望。

18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点.

(Ⅰ)求异面直线EF和PB所成角的大小；

(Ⅱ)求证：平面PCE⊥平面PBC；

(Ⅲ)求二面角E-PC-D的大小.

19.（本小题满分13分）已知
为椭圆的左、右顶点，为其右焦点,是椭圆上异于
的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知菱形EFGH的顶点E、G在椭圆C1上，顶点F、H在直线
上，求直线EG的方程。

20.（本小题满分14分）已知函数
，
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若函数
和函数
在区间
上均为增函数，求实数的取值范围；

（3）若方程
有两个解，求实数的取值范围．

21.（本题满分14分）

（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

已知平行四边形
的四个顶点的坐标分别为
，
，
，
.其在矩阵
所对应的变换作用下变成菱形
。

（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求矩阵
的逆矩阵
．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

（Ⅰ）已知曲线
的极坐标方程为
,将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若在平面直角坐标系xoy中，曲线
的参数方程为
(
，为参数）．已知曲线
上的点M(1，
)及对应的参数＝
．求曲线
的直角坐标方程；

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求证：
,并说明等号成立的条件；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围.

龙海二中2014-2015学年上学期期末考试卷

高三理科数学参考答案

一、选择题

1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．A 9．D 10. D

二、填空题

11. 4. 12．0. 13．－56； 14.
15. m∈(－，)∪(，＋∞)．

三、解答题

16、解：(1)由
，得
，

即
，由余弦定理，得
，∴
； …………6分

（II）
=2sinB+cos2B.…………………7分

=2sinB+1－2 sin2B

=－2sin2B+2sinB+1，B∈（0，
）……………9分

令t =sinB，则t∈
.…………………………10分

则
=－2t2+2t+1=－2(t－
)2+
,t∈
.………12分

∴t=
时，
取得最大值
……………………13分

17.解：（Ⅰ）∵高三年的学生人数为80，高一年的学生人数90，

∴高二年的学生人数为：
，……………………1分

可得高二年的学生应抽取
人.…………………3分

（II）由
，且
，则基本事件
为

. 共有9组.………5分

由
得
,所以满足条件的基本事件共有7组，…………7分

故所求的概率
.…………9分

（III）
，
，

13分

18．解：以直线AB为x轴，直线AD为z轴建立间直角坐标系，如图，则

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

(Ⅰ)∵E为AD中点，∴E(0，1，0).又F为PC中点，

∴F(1，1，1).∴
又

∴cos<
>=90°,∴异面直线EF和PB所成角

的大小为90°. ……………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF⊥PB，又∵

∴
∴EF⊥BC.∴EF⊥平面PBC，又EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC. …8分 (Ⅲ)过点D作DH⊥PC于H. 在Rt△PDC中，PD=2
DC=2，PC=2

则CH=
：HC=2：1， 又P(0，0，2)，C(2，2，0). ∵H(
).

∴
又
，∴cos<
>=

∴<
>=30°. ………12分∴二面角E-PC-D的大小为30°. ………13分

19.Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．由题意知
解得
，
． …3分

故椭圆
的方程为
．…4分

（Ⅱ）顶点F、H在直线
上, EFGH为菱形，EG 垂直FH，设直线EG 的方程为

∵E、G在椭圆C1上，
设
，则
……9分

∴EG的中点坐标为
，由EFGH为菱形可知，点
在直线FH：
上，

∴直线EG的方程为
…………13分

20．（1）解：∵
（
∴
令
，得

故函数
的单调递增区间为
……………………………………4分

（2）

当
时，
，当
时，
，要使
在
上递增，必须

，如使
在
上递增，必须
，即
，由上得出，当
时
，
在
上均为增函数 ……9分

（3）方程
有两个解
有两个解

设
,
（
）

随变化如下表























极小值





由于在
上，
只有一个极小值，
的最小值为
，

当m
时，方程
有两个解. ……………14分

21.（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

解：（Ⅰ）由题意可知点
在矩阵
所对应的变换作用下变成点
，故点
，
，
，
……2分显然四边形
为平行四边形，故要使得
为菱形，只需
，即
，由
，解得
……4分;（Ⅱ）由
，故
.……7分.

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

解析：（I）x2+y2=6x …3分（Ⅱ）将
及对应的参数
，代入
，得
，即
，所以曲线C的方程为
.…………7分

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由柯西不等式得
，

所以
. 当且仅当
，即
时，等号成立…3分.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，又不等式
恒成立，所以
，解得
或
.故的取值范围为
……7分