柳州市2015届高中毕业班第二次模拟考试题

数学文科(参考答案)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

A

B

A

B

C

D

A

D

C



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

１３．２　　　１４．
　　　　１５．
　　　　１６．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

１７．(本小题满分12分）

解：（1）设等比数列前三项分别为
、
、
，

则
、
、
又成等差数列.依题意得：
…………………………………………………………2分

即
……………………………………………………3分

解之得
，或
（数列
为递增等比数列，舍去） …………………………5分

数列
的通项公式：
…………………………………………………………6分

（2）由
得,
………………………………………………………7分

∴

………………………8分

………………………………10分

………………………………………12分

１８．(本题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图知，年龄段
、
、
、
的人数

的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10…………………………………………………1分

∵
，
，
，
……………………3分

∴年龄段
、
、
、
应取的人数分别为14、16、6、4…………4分

∵各年龄组的中点值分别为25、35、45、55. 对应的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10.

则
…………………………………5分

由此估计全校教师的平均年龄为35岁.……………………………………………………6分

（2）因为年龄段
的教师人数为
人，……………………………………7分

年龄段
的教师人数为
人，…………………………………………8分

从年龄段
任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为A、B; 两项都为优秀的事件记为M.

从年龄段
任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为C、D; 两项都为优秀的事件记为N.由表知.

,
, 则
……………9分

,
,则
……………10分

记这两人中至少有1人在甲、乙两项培训考试成绩为优秀的事件为E. 则

………………………12分

１９．（本题满分12分）

解：（１）证法一：取
中点
,连
.

∵

……………………1分

又
，
,……………………2分

∵
,
,…………3分

又
,……………………………4分

于是
……………………………………5分

证法二：∵
，且Ｏ为
的中点，

∴
． 又由题意可知，

平面
平面
，交线为
，

且
平面
，所以
平面
．

以Ｏ为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系．………………1分

由题意可知，
又

∴得:
…………………………2分

则有:
,
, 由
…………………………………4分

……………………………………………………………………………5分

(2) 解法一：（等体积法）由条件得：
……………………………………6分

∵

∴
，
，
………………………………………………9分

∴

………………………………………………………10分

…………………………………………………………………12分

解法二：由法二知,
,
，

设平面
的一个法向量为
，则有

即
，令
，得

∴
．……………………………………………………………………7分

而
，于是点
到平面
的距离

…………………………………………………9分

在
中
,

则
的面积
…………………………………10分

故
……………………………………12分

２０．（本题满分12分）

解：（１）由题意知
，…………………………………………………………………1分

所以
．即
．………………………………………………2分

又∵
，………………………………………………………………………3分

∴
，
．………………………………………………………………………… 4分

故椭圆
的方程为
． …………………………………………………………6分

（２）由题意知直线
的斜率存在. 设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
……………………………………………7分

，
.

∵
，∴
，
，

.

∵点在椭圆上，∴
，

∴
……………………………………………………………………8分

∵
＜
，∴
，

∴
，

∴
，∴
…………………………………………………10分

∴
，∵
，∴
，…………………11分

∴
或
，

∴实数取值范围为
……………………………………………12分

(注意：可设直线方程为
，但需要讨论
或
两种情况)

21. （本题满分12分）

解：（1）∵
，且
，………………………………………………1分

当
时，得
；当
时，得
；

∴
的单调递增区间为
； ………………………………………………………2分

的单调递减区间为
和
．………………………………………………3分

故当
时，
有极大值，其极大值为
． …………………………………4分

（2）∵
，

当
时，
，

∴
在区间
内是单调递减．…………………………………………………6分

∴
．……………………8分

∵
，∴
此时，
．………………………………9分

当
时，
．……………………………………………10分

∵
，∴
即

此时，
．……………………………………………………………11分

综上可知，实数的取值范围为
．………………………………………12分

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

证明：（１）连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. …………1分

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG. ………2分

又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG. …………3分

∴∠FDC+∠CEF=180°. ………………………4分

∴C，D，F，E四点共圆. ………………………5分

（２）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，

∴GH2=GC·GD. …………………………………………………………………………6分

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD. ………………………………………………………………………7分

∴
=
，即GC·GD=GE·GF， ………………………………………………………8分

∴CH2=GE·GF. ……………………………………………………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程
化为

，………………………………………………………………2分

普通方程是
，…………………………………………………………4分

即
…………………………………………………………………5分

（2）直线
与曲线C交于A,B两点，与y轴交于点P，

把直线
的参数方程
代入曲线C的普通方程
中，

得
，…………………………………………………………………………7分

………………………………………………………………………………8分

∴
……………………………………………………………9分

……………………………………………………………………10分

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：（1）解法一：当
时，
，…………………………………………1分

∴
，或

解法二：当
时，则
. ………………………………………1分

由
得

① 当
时，不等式化为
即
，其解集为
……2分

②当
时,不等式化为
,不可能成立.其解集为
. ……………3分

③当
时, 不等式化为
即
.其解集为
……………4分

综上得
的解集为
. …………………………………5分

解法三：当
时，
， …………………………………………1分

由
，则
，据
的几何意义，

表示数轴上与实数
距离之和不小于3的实数的集合，…………………………3分

由于数轴上数
左侧的点与数
右侧的点与数-1与1的距离之和不小3，…………4分

所以所求不等式解集为（-∞，
]∪[
，+∞）. ………………………………5分

（2）解法一：若
不满足题设条件.

若
的最小值为
…………………7分

若
的最小值为
. ………………9分

所以
.的取值范围是
…………………10分

解法二：由
，即
，由
的几何意义，

表示数轴上到的距离与到的距离之和大于等于2恒成立的实数的集合， ………7分

则1与之间的距离必大于等于2，…………………………………………………9分

从而有
. ……………………………………………………10分