2015届百所示范性中学高三年级第一次大联考

数学（文史类）试题部分评分细则

一、选择题

1．B　【解析】∵B＝{x|0

2．C　【解析】∵(1＋2i)(1－2i)＝1＋22＝5，∴a＝2.

3．D　【解析】A，B，C正确，D中，p是真命题，q是真命题，故p∧q为真命题，选D.

4．B　【解析】y＝

x＝－1时，y＝0，选B.

5．C　【解析】y＝的定义域为：{x|x≥－1}，P＝，选C.

6．B

7．C　【解析】l1∥l2时，m＝，l2：3x＋4y＋8＝0，d＝＝＝2，选C.

8．D

9．C　【解析】f(x)＝0?log4x＝|x－4|，画图可知，选C.

10．B　【解析】由三视图知余下的几何体如图示(下部分)：

∵E、F都是侧棱的中点，

∴上、下两部分的体积相等，

∴几何体的体积V＝×23＝4.

11．C　【解析】法一：如图，设∠AOF＝α，由(＋)·＝0得，·＋·＝0，||·||cos (π－α)＋||·||cos＝0，

＝tan α?＝，即||＝||?α＝45°，

∴a＝b，e＝.

法二：取OF中点H.

由(＋)·＝0，有2·＝0，即AH⊥OF.

又点A在以OF为直径的圆上，

∴OA⊥AF，

故△OAF为等腰直角三角形．

∴AH＝OF，即·＝?a＝b，

∴该双曲线为等轴双曲线，

故e＝.

12．A　【解析】＝?D是AC的中点?＝(＋)

·＝－?(＋)·(－)＝－

2－2＝－1?2＝5?||＝.

cos B＝.

·＝(－)·＝·(－)

＝·－2

＝2··－×5＝2－＝－.

二、填空题

13．－

14．－1　【解析】由题作出可行域如图，

y＝x－z，当x＝1，y＝2时，zmin＝－1.

15.

16．m≥　【解析】f(－x0)＝－f(x0)?

设
，则t≥2,

t2－2＝2mt，

2m＝t－在[2，＋∞)上递增，

∴2m≥1?m≥.

17题评分细则（共12分)

17．【解析】(1)设公差为d，公比为q，

∴解得b1＝2，d＝2，q＝2，………………4分

∴an＝2n＋1，bn＝2n.……………………6分

(2)Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)

＝＋……………………9分

＝n2＋2n＋1＋2n－2.…………………… 12分

18题评分细则（共12分)

18．【解析】(1)设演讲比赛小组中有x名男同学，则＝，x＝1，故演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．……………………1分

把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a2，a1)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12个．…………………………3分

其中恰有1名女同学的情况有6种，所以选出的2名同学恰有1名女同学的概率为P＝＝.……………………5分

(2)第一个同学演讲的平均成绩为x1＝×(69＋71＋72＋73＋75)＝72(分)．…………6分

第二个同学演讲的平均成绩x2＝×(70＋71＋71＋73＋75)＝72(分)，…………7分

s＝×[(69－72)2＋(71－72)2＋(72－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝4，…………9分

s＝×[(70－72)2＋(71－72)2＋(71－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝3.2.……………11分

因此第二个同学的演讲成绩更稳定．……………… 12分

19题评分细则（共12分)

19．【解析】(1)证明：∵E、F分别是PC，PD的中点，

∴EF∥CD∥AB.………………1分

又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.…………3分

同理，EG∥平面PAB，…………4分

∴平面EFG∥平面PAB.

又∵AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG.………… 6分

(2)由∠PCD＝45°，得PD＝BC＝CD＝2…………8分

∴
………………10分

∴VC－EFG＝VG－CEF＝S△CEF·GC＝××1＝.………………12分

20题评分细则（共12分)

20．【解析】(1)直线AB的方程为y＝－x＋.………………2分

令y＝0得右焦点为(1，0)，令x＝0得上顶点为(0，)．……………………3分

∴a2＝b2＋c2＝4，故得所求椭圆方程为＋＝1.…………………… 5分

(2)由得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0

Δ＝64k2m2－4＝0即m2＝3＋4k2……………………6分

xP＝－＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P……………………7分

又因为M(t，0)，Q(4，4k＋m)

则＝，＝(4－t，4k＋m)………………9分

若存在点M，则：

·＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0 恒成立

故 ∴t＝1………………11分

存在点M(1，0)符合题意．………………12分

21题评分细则（共12分)

21．【解析】(1)由已知得f′(x)＝ex＋a, …………1分

当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数．……………………2分

当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调增函数；

由f′(x)<0，得x

综上可得：当a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)；

当a<0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调减区间是(－∞，ln(－a))．………………5分

(2)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，即得ex＋ax≥e－x－ax恒成立，即得ex－e－x＋2ax≥0恒成立．令h(x)＝ex－＋2ax(x≥0)，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．………………6分

又h′(x)＝ex＋e－x＋2a，且h′(x)≥2＋2a＝2＋2a，当x＝0时等号成立．………………7分

①当a>－1时，h′(x)>0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．

②当a＝－1时，若x＝0，h′(x)＝0，若x>0，h′(x)>0，

所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．………………9分

③当a<－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋)，

此时，若x∈(0，x1)，则h′(x)<0，故h(x)在该区间为减函数．

所以，x∈(0，x1)时，h(x)

综上，满足条件的a的取值范围是[－1，＋∞)． ……………………12分

22题评分细则（共10分)

22．【解析】(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB，……………………2分

由∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，……………………3分

所以∠DBE＝∠DBC，即BD平分∠CBE. …………………………4分

(2)由(1)可知BE＝BH，……………………5分

所以AH·BH＝AH·BE，……………………6分

因为∠DAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ABE，

所以△AHC∽△AEB，……………………8分

所以＝，即AH·BE＝AE·HC，……………………9分

即AH·BH＝AE·HC.………………………… 10分

23题评分细则（共10分)

23．【解析】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，……………………1分

结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2＋y2＝4x，……………………3分

即(x－2)2＋y2＝4. ……………………4分

(2)由直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程得，x－y－a＝………7分

结合圆C与直线l相切，得＝2，…………………………9分

解得a＝－2或6.…………………… 10分

24题评分细则（共10分)

24．【解析】(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－2|x－1|＝……………2分