柳州市2015届高中毕业班第二次模拟考试题

数学理科(参考答案)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

C

B

A

B

C

D

A

C

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

１３．２　　　１４．
　　　　１５．
　　　　１６．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

１７．(本小题满分12分）

解：（1）设等比数列前三项分别为
、
、
，

则
、
、
又成等差数列.依题意得：
…………………………………………………………2分

即
……………………………………………………3分

解之得
，或
（数列
为递增等比数列，舍去）…………………………5分

数列
的通项公式：
…………………………………………………………6分

（2）不等式化为：

而
………………………………………………8分

当
时，
的最小值为3………………………………………………………10分

不等式
对一切
恒成立，则

取值范围为
. …………………………………………………………………12分

１８．(本小题满分12分）

解：（1）记某台发动机正常工作的事件为A, 甲车间3台发动机都出现故障的事件为M, 甲车间3台发动机至少有一台能正常工作的事件为N.

则
………………………………………………………………………………1分

………………………………………………………3分

甲车间不需停产维修的概率为
.…………………………………………………………5分

(2) 记
表示每月维修的费用，那么
可取0,1,2,3(单位: 万元) ………………………………6分

依题意有:
………………………………………………………7分
………………………………………………………8分

……………………………………………………9分

…………………………………………………………………10分

的分布列为:

0

1

2

3
















的数学期望为:

……………………………………12分

１９．（本小题满分12分）

证明：（１）取
中点，连接
．………1分

∵为
中点．

∴
，

∴面
面
．…………………3分

又∵
面
…………………4分

∴
平面
． …………………6分

证法二：∵
，且Ｏ为
的中点，

∴
．又由题意可知，

平面
平面
，交线为
，

且
平面
，

∴
平面
．

以Ｏ为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系．……………1分

由题意可知，
又

∴得:
…………………2分

则有：
，
，

设平面
的一个法向量为
，则有

即

令
，得

∴
．……………………………………………………………………4分

又∵是
的重点，则
，∴
………………………5分

∵
，∴
平面
……………………………………………………6分

（２）由法二，已知
，设面
的法向量为
，

则
得

………………………………………………8分

令
，所以
．………………………………………………………9分

所以
＜

……………………………………11分

根据图象，得二面角
的余弦值为
…………………………………12分

2０．（本小题满分12分）

解：（１）由题意知
，…………………………………………………………………1分

∴
．即
……
……………………………………………2分

∵ 过椭圆顶点
的直线
与圆
相切

…………
…………………………………………………………3分

由

联立解得
…………………………………………………………5分

故椭圆
的方程为
．…………………………………………………………6分

（２）由题意知直线
的斜率存在. 设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
……………………………………………7分

，
.

∵
，∴
，
，

.

∵点在椭圆上，∴
，

∴
……………………………………………………………………8分

∵
＜
，∴
，

∴
，

∴
，∴
…………………………………………………10分

∴
，∵
，∴
，…………………11分

∴
或
，

∴实数取值范围为
……………………………………………12分

(注意：可设直线方程为
，但需要讨论
或
两种情况)

２1. (本小题满分12分）

解：（１）
，…………………………………………1分

∵
，令
，得
，或
，……………………………………3分

∴函数
的单调增区间为
，
.………………………………………4分

⑵∵
，∴
，∴
，

设
，依题意，
在
上是减函数……………………………5分

当
时，
，
，

令
，得：
对
恒成立，……6分

设
，则
，………………………………7分

∵
，∴
，

∴
在
上是增函数，则当
时，
有最大值为
，∴
.……9分

当
时，
，
，

令
，得：
，……………………10分

设
，则
，

∴
在
上是增函数，∴
，∴
， ………………………11分

综上所述，
………………………………………………………………12分

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

证明：（１）连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. …………1分

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG. ………2分

又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG. …………3分

∴∠FDC+∠CEF=180°. ………………………4分

∴C，D，F，E四点共圆. ………………………5分

（２）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，

∴GH2=GC·GD. …………………………………………………………………………6分

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD. ………………………………………………………………………7分

∴
=
，即GC·GD=GE·GF， ………………………………………………………8分

∴CH2=GE·GF. ……………………………………………………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程
化为

，………………………………………………………………2分

普通方程是
，…………………………………………………………4分

即
…………………………………………………………………5分

（2）直线
与曲线C交于A,B两点，与y轴交于点P，

把直线
的参数方程
代入曲线C的普通方程
中，

得
，…………………………………………………………………………7分

………………………………………………………………………………8分

∴
……………………………………………………………9分

……………………………………………………………………10分

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：（1）解法一：当
时，
，…………………………………………1分

∴
，或

解法二：当
时，则
. ………………………………………1分

由
得

① 当
时，不等式化为
即
，其解集为
……2分

②当
时,不等式化为
,不可能成立.其解集为
. ……………3分

③当
时, 不等式化为
即
.其解集为
……………4分

综上得
的解集为
. …………………………………5分

解法三：当
时，
， …………………………………………1分

由
，则
，据
的几何意义，

表示数轴上与实数
距离之和不小于3的实数的集合，…………………………3分

由于数轴上数
左侧的点与数
右侧的点与数-1与1的距离之和不小3，…………4分

所以所求不等式解集为（-∞，
]∪[
，+∞）. ………………………………5分

（2）解法一：若
不满足题设条件.

若
的最小值为
…………………7分

若
的最小值为
. ………………9分

所以
.的取值范围是
…………………10分

解法二：由
，即
，由
的几何意义，

表示数轴上到的距离与到的距离之和大于等于2恒成立的实数的集合， ………7分

则1与之间的距离必大于等于2，…………………………………………………9分

从而有
. ……………………………………………………10分