天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查

数学(文)试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题（共40分）

注意事项:

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

如果事件
互斥,那么
如果事件
相互独立,那么

.
.

柱体的体积公式
. 其中
表示
锥体的体积公式
. 其中
表示

柱体的底面积,
表示柱体的高. 锥体的底面积,
表示锥体的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
（
R）,其中
为虚数单位,则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设变量
满足约束条件
则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知双曲线
（
,
）的一条渐近线为
,右焦点坐标为
,则该双曲线的离心率等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知等比数列
的公比为正数,且
,
,则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知命题
R,
≤
,则
为

（A）
R,
（B）
R,
≥

（C）
R,
（D）
R,

（6）设函数
若
,则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）在△
中, 已知
是
的中点,
,点
在
上且满足
,则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如图,
切圆
于点
,割线
经过圆心
,若
,
平分
,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,则
的长等于

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷 非选择题（共110分）

注意事项:

1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.

（9）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品的数量分别为
件、
件、
件,为调查产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为
的样本,其中乙车间的产品中共抽取
件，则
的值为 .

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体 的体积为 cm3.

（11）已知
（
R）,则函数
的最大值等于 .

（12）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的
值是 .

（13）已知函数
（
R）是偶函数,则实数
的值为 .

（14）若不等式
对满足
≤
≤
的所有
都成立,则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分13分）

现有6名学科竞赛优胜者,其中语文学科是
,数学学科是
,英语学科是
,从竞赛优胜者中选出3人组成一个代表队,要求代表队中至少包含两个学科.

（Ⅰ）用所给字母列出所有可能的结果；

（Ⅱ）设
为事件“代表队中没有英语优胜者”,求事件
发生的概率.

（16）（本小题满分13分）

已知在△
中,
,
,
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

（17）（本小题满分13分）

如图,在三棱锥
中,
,
,
分别为
的中点.

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求证:平面
平面
.

（Ⅲ）若△
是正三角形,且
,
,求二面角
的余弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知数列
满足
,其前
项和
,且
,
N*.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
,并记
为数列
的前
项和,求证:
,
N*.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆
（
）的离心率
,且它的左焦点
与右顶点
的距离
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
,
两点,连接
,
分别交直线
于
,
两点,求证:直线
与直线
的斜率之积为定值.

（20）（本小题满分14分）

已知函数
在
上为增函数,
在
上为减函数.

（Ⅰ）分别求出
和
的表达式；

（Ⅱ）当
时,证明方程
有唯一解；

（Ⅲ）当
时,若
≥
在
内恒成立,求
的取值范围.

和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准

一、选择题 （每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A （5）A （6）D （7）D （8）B

二、填空题 （每小题5分，共30分）

（9）
（10）
（11）
（12）
（13）

（14）

三、解答题 （本大题共6小题，共80分）

（15）（本题13分）理科

（Ⅰ）解:


……………………（1 分）

. ……………………（3 分）

∵函数
的单调递增区间为
,
Z. ……（5 分）

∴
≤
≤
,即
≤
≤
,
Z. ……（7 分）

∴函数
的单调递增区间为
,
Z. …………（8 分）

（Ⅱ）解: ∵当
时,
≤
≤
, ……………………（10分）

∴
≤
≤
,故
≤
≤
. ……………………（12分）

∴函数
在区间
上的取值范围是
. ………………（13分）

（16）（本题13分）文科

（Ⅰ）解: ∵ 在△
中,
,

∴
. ……………………（3 分）

∵
,
,
,

∴ 由正弦定理,得
. ……………………（6 分）

（Ⅱ）解: ∵
,
,
,

∴由余弦定理,得
.……………………（8 分）

即
,整理得
. ………………（10分）

解得
,故
. ……………………（13分）

（16）（本题13分）理科

（Ⅰ）解:根据表格可知等级为“优秀”的有8人,等级为“合格”的有16人,

用分层抽样的方法抽取,每个人被抽中的概率是
. ………………（2 分）

故样本中等级为“优秀”的有
（人）,

等级为“合格”的有
（人）. ……………………（4 分）

设“至少有一个等级为‘优秀’的被选中”为事件
,

则
.

∴选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率为
. ………………（7 分）

（Ⅱ）解: 依题意,等级为“优秀”的共有8人,其中甲组有5人,乙组有3人,则
的所有可能取值为
.

；

；

；

.

∴随机变量
的分布列是:

0

1

2

3

















…………（11分）

∴
. ……………………（13分）

（17）（本题13分） 文科

（Ⅰ）证明: ∵在△
中,
分别为
的中点,

∴
. ……………………（2 分）

又
平面
,
平面
,

∴
平面
.……………………（4 分）

（Ⅱ）证明: ∵在△
中,
,
,

∴

. ……………………（5 分）

∵在△
中,
,
,
为
的中点,

∴
. ……………………（6 分）

∵
平面
,
平面
,且
,

∴
平面
. ……………………（7 分）

又
平面
,

∴平面
平面
. ……………………（9 分）

（Ⅲ）解: 二面角
即为二面角
,

由（Ⅱ）可知,
,
.

故
即为所求二面角
的平面角. ……………………（10分）

在△
中,易知
,
,
, ……………………（11分）

由余弦定理,得
.

∴二面角
的余弦值为
. ……………………（13分）

（17）（本题13分） 理科

（Ⅰ）证明: 取
的中点
,连接
,
.

∵
,
,

∴
,
.

又∵平面
平面
,

且
是平面
与平面
的交线,

∴
平面
.

如图所示建立空间直角坐标系
. ……………………（1 分）

由已知得
,
,
,

,
,
.

∴
,
. ……………………（3 分）

∴
.

∴
. ……………………（5 分）

（Ⅱ）解:
,
,
. ………（6 分）

设平面
的法向量为

,

∵

,

,

∴
令
,则
,
.

故

为平面
的一个法向量. ……………………（8 分）

则

,
.

∴直线
与平面
所成角的正弦值为
. ……………………（10分）

（Ⅲ）解: 由（Ⅱ）可知

为平面
的一个法向量,

而
为平面
的一个法向量, ……………………（11分）

设二面角
的大小为
,易知二面角
是锐角,

∴

.

∴二面角
的余弦值等于
. ……………………（13分）

（18）（本题13分）

（Ⅰ）解: 由
,解得
或
. ……………………（1 分）

由题设
,可知
. ……………………（2 分）

由
, …………（3 分）

可得
,

解得
. ……………………（5 分）

即数列
是首项为
,公差为
的等差数列.

∴数列
的通项公式为
. ……………………（6 分）

（Ⅱ）证明: 由（Ⅰ）可得
. ……………………（7 分）

则
. ……………………（8 分）

欲证
,
N*,

即证明
,
N*,

只需证明
,
N*,即可. ………………（9 分）

∵
,
,…,
, ……………………（11分）

∴
.

∴
,
N*.证毕. ……………………（13分）

（19）（本题14分）

（Ⅰ）解: 设椭圆的左焦点
的坐标为
, ……………………（1 分）

依题意
,
,
. ……………………（3 分）

解得
,
,
.

∴椭圆
的标准方程为
.…（5 分）

（Ⅱ）解:设
,
,

由直线
与
轴不重合,故可设直线
, …………………（6 分）

由
整理得
. …………（7 分）

,
. ……………………（8 分）

由
,
,
三点共线,可得
,即
,

由
,
,
三点共线,同理可得
. ……………………（9 分）

. ……（10分）

而

,

故
……………………（12分）

.

∴直线
与直线
的斜率之积为定值
. ……………………（14分）

（20）（本题14分）

（Ⅰ）解: 由
,依题意
≥
,
,

即
≤
在
上恒成立,故
≤
. ……………………（2 分）

由
,依题意
≤
在
内恒成立,,即
≥
.

综合上述结论,
. ……………………（4 分）

∴
,
. ……………………（5 分）

（Ⅱ）证明: 由（Ⅰ）可知方程
,即
.

设
,

则
=
.…………………（7 分）

令
,并由
,解得
.

令
,并由
,解得
. ……………………（9 分）

,
的变化情况如下表:

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