甘肃省兰州市2015届高三实战考试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则CU（M
N）=

A．{1,4,6,7} B．{2,4,6,7} C．{1，2，4，6，7} D．{1，3，4，6，7}

2．i．z=1一i（i为虚数单位），则z=

A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

3．已知命题
；命题
．则下面结论正确的是

A．p
q是真命题 B．p
q是假命题 C．
q是真命题 D．p是假命题

4．已知数列{an}是等差数列，且a1 +a4+a7=2
，则cos（a3+a5）=

A．
B．一
C．
D．－

5．已知实数x，y满足ax

A．
B．
C．
D．

6．已知点F是挞物线y2 =4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN中点的横坐标为

A．
B．2 C．
D．3

7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是

A．

B．13

C．29

D．

8．阅读右侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为

A．S=2*i-2

B．S= 2*i-1

C．S=2*i

D．2*i+4

9．设F1、F2分别是椭圆
的两焦点，点P是该椭圆上一个动点，则
的取值范围是

A．[一2,1） B．（—2,1）

C．（一2,1] D．[—2,1]

10．已知长方体ABCD – A1B1 Cl D1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16
且AB：AD：AA1=
：1：2，则球O到平面ABCD的距离为

A．1 B．
C．
D．2

11．函数
与函数g（x）= cos
的对称轴完全相同，则

A．－
B．
C．
D．－

12．已知函数
，函数
，若对任意
，总存在
，使得
成立，则实数a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第

22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向
，
∥
，则x= 。

14．三名学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为 。

15．已知实数x，y，满足约束条件
，若z的最大值为12，则z的最小值为 。

16．已知数列{an}中
是数列{an}的前n项和，则S2015= 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分l2分）

在△ABC中，a、b．c分别为内角A、B、C的对边，且有（2c一a）cosB=bcosA。

（I）求角B的值：

（Ⅱ）若△ABC的面积为10
，b=7，求a+c的值

18．（本小题满分12分）

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E、F分别是BB1、AA1、AC的中点，

（Ⅰ）求证：CD∥平面BEF

（Ⅱ）求平面ACD与平面A1C1D所成二面角的大小

19．（本小题满分12分）

据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的学生就

其上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图。

（I）为减轻学生负担，学校规定上学路上所需

时间不少于1小时的学生可申请在校内住

宿，请根据抽样数据估计该校600名新生

中有多少学生可以申请在校内住宿；

（II）从新入校的学生中任选4名学生，以频率

分布直方图中的频率作为概率，这4名学

生中上学所需时间少于20分钟的人数记为

X，求X的分布列和期望．

20．（本小题满分12分）

已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足

（I）求动点N的轨迹E的方程；

（II）过点F且斜率为k的直线，与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得
成立，请说明理由，

21． （本小题满分12分）

已知函数

（I）当函数
在点
处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m的值；

（Ⅱ）若
时，
恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）求证：

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，在正△ABC中，点D．E分别在边BC, AC上，且BD =
BC,CE=
CA，AD，BE相交于点P．

求证： （I）四点P、D、C、E共圆；

（II）AP⊥CP．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系xoy中，曲线Cl方程为
为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．C2的极坐标方程为
．

（I）求曲线Cl的普通方程和C2的直角坐标系方程；

（II）设P为曲线Cl上的任意一点，M为C2上的任意一点，求|PM|的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（I）当a=4时，求不等式
≥5的解集；

（II）若
）≥4对a∈R恒成立，求实数a的取值范围．

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