衢州市2015年 4月高三年级教学质量检测试卷

数学(理科)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.设集合
，
, 则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知直线
，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若
是不相同的空间直线，
是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）

A.
?????? B.

C.
D.

5.已知实数
满足：
，若
的最小值为
，则实数
（ ）

A.
B.
C.
D. 8

6.为了得到函数
的图像，可以将函数
的图像（ ）

A.向右平移
B.向右平移
C.向左平移
D.向左平移

7.设点
是曲线
上的动点，且满足

，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.在等腰梯形
中，
其中
，以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为
，以
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
，若对任意
不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C. 2 D.

二、填空题

9.已知双曲线：
，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _；

焦点到渐近线的距离为__ _．

10.已知等差数列
的前
项和为
,
,
，则
__ ，
__ ．

11.三棱锥
中，
平面
，
为侧棱
上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则
与平面
所成角的大小为__ _；三棱锥
的体积为 __ _．

12.在
中，若
，则其形状为__ _，
__

（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）；

13.已知
满足方程
，当
时，则
的最小值为 __ _．

14.过抛物线
的焦点作一条倾斜角为锐角
,长度不超过
的弦,且弦所在的直线与

圆
有公共点,则角
的最大值与最小值之和是__ _．

15.已知函数
，若关于
的方程
有
个不同的实数

根，且所有实数根之和为
，则实数
的取值范围为__ _．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16.（本题满分15分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）在
中，内角
所对边分别为
，
，若对任意的
不等式

恒成立，求
面积的最大值．

17.（本题满分15分）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，点
分别为
的中点，且
，
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）设直线
与平面
所成角为
，当
在
内

变化时，求二面角
的取值范围．

18.(本题满分15分)已知椭圆
：
过点
，离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
分别为椭圆
的左、右焦点，过
的直线
与椭圆
交于不同两点
，记
的内切圆的面积为
，求当
取最大值时直线
的方程，并求出最大值．

19.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列
的公比为
，
表示不超过实数
的

最大整数（如
），设
，数列
的前
项和为
，
的前
项和为
.

（Ⅰ）若
，求
及
；

（Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数
,都有
，证明:
．

20.(本题满分14分)设
为函数
两个不同零点.

（Ⅰ）若
，且对任意
,都有
，求
；

（Ⅱ）若
，则关于
的方程
是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；

（Ⅲ）若
，
,且当
时，
的最大值为
，求
的最小值.

2015年4月衢州市高三教学质量检测

数学（理）参考答案

一、选择题：

CBAC BDAB

二、填空题：

9．
； 10．
； 11．
；

12．③，
； 13．
； 14．
； 15．
．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16.（本题满分15分）

解：（Ⅰ）

由
解得

所以函数
的单调增区间为

（Ⅱ）由题意得当
时，
取得最大值，则
及

解得

由余弦定理得

即

所以当
时，

17.（本题满分15分）

（Ⅰ）证明：取
中点
，连接
，

因为点
分别为
的中点，所以

四边形
为平行四边形，则
又
平面
，
平面

所以
平面

（Ⅱ）解法1：连接
，因为
，点
分别为
的中点，则

又
平面
，则
所以
即为二面角
的平面角

又
，所以
平面
，则平面
平面

过点
在平面
内作
于
，则
平面
．

连接
，于是
就是直线
与平面
所成的角，即
=
．

在
中，
；

在
中，
，
．

，

，
．

又
，
．

即二面角
取值范围为
．

解法2：连接
，因为
，点
分别为
的中点，则

又
平面
，则
所以
即为二面角
的平面角，设为

以
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，

于是，
，
，
．

设平面
的一个法向量为
，

则由
．

得

可取
，又
，

于是
，

，

，
．

又
，
．

即二面角
取值范围为
．

18.(本题满分15分)

解：（Ⅰ）由题意得
解得

椭圆
的标准方程为

（Ⅱ）设
，
的内切圆半径为
，则

所以要使
取最大值，只需