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鹰潭市2015届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)

本试卷分第Ⅰ卷和第II卷两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的。

1．设集合
，集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
为虚数单位，
为实数，复数
在复平面内对应的点为
，则“
”是“点
在第四象限”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条

3．设等比数列
的前
项和为
，满足
，且
，

则
=（ ）

A．63 B．48 C．42 D．36

4．已知
，则
（ ）

A．－
B．
C．－
D．

5．已知命题
:函数
的最小正周期为
；命题
：若函数
为偶函数，则
关于
对称.则下列命题是真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知实数
，执行如图所示的程序框图，则输出的
不小于
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知
，则
展开式中，
项的系数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．甲乙两人从
门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有
门不相同的选法共有（ ）

A．30种 B．36种 C．60种 D．72种

9．已知
是双曲线
的左焦点，过
作倾斜角为
的直线
，直线
与双曲线交于点
与
轴交于点
且
，则该双曲线的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知方程
在
有两个不同的解
（
），则下面结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

11．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则

不等式
的解集（ ）

A．
B．
C．
D．

12．设函数
，若对任意给定的
，都存在唯一的
，满足
，则正实数
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知
，
，
的夹角为60°，则
．

14．设实数
满足
则
的最大值为 ．

15．棱锥的三视图如上图所示，且三个三角形均为直角三角形，

则
的最小值为 ．

16．球
为边长为
的正方体
的内切球，

为球
的球面上动点，
为
中点，
，则点

的轨迹周长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知公比为负值的等比数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

18．(本小题满分12分）

湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某
位大众评审对这
位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求：

（Ⅰ）恰有
人把票投给歌手甲的概率；

（Ⅱ）投票结束后得票歌手的个数
的分布列与期望．

19．(本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，
平面
，
∥
，
是

的中点，

，
，
．

（Ⅰ）证明
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值的大小．

20．（小题满分12）

椭圆
的方程为
，
、
分别是它的左、右焦点，已知椭圆
过点
，且离心率
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图，设椭圆的左、右顶点分别为
、
，直线
的方程为
，
是椭圆上异于
、
的任意一点，直线
、
分别交直线
于
、
两点，求
的值；

（Ⅲ）过点
任意作直线
（与
轴不垂直）与椭圆
交于
、
两点，与
交

于
点，
，
． 求证：
．

21．（本大题满分12分）

已知函数
，
，
图象与
轴异于原点的交点
处

的切线为
，
与
轴的交点N处的切线为
， 并且
与
平行．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）已知实数
，求
的取值范围及函数

的最小值；

（Ⅲ）令
，给定
，对于两个大于
的正数

，存在实数
满足：
，
，并且使得不等式
恒成立，求实数
的取值范围.．

22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点
作圆
的切线交

的延长线于点
，
的平分线分别交
和圆
于点

，若
．

（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求
的值．

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是

是参数
．

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
的解集为
，
，求证：
．

鹰潭市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)答案

一、选择题：1—5 DAADB 6 —10 BCABC 11—12 AB

二、填空题：

13．
14．
15．
　 16．

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）因为数列
是等比数列，所以
，则
或
，因为数列
的

公比为负值，所以
，故
，则
，故

即数列
的通项公式为
……………………………………6分

（Ⅱ）由条件知，

………………9分

则
故

。……………………………12分

18．解：（Ⅰ）解法一：所有可能的投票方式有
种，恰有2人把票投给歌手甲的方

式
种，从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为
……5分

解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记“把票投给歌手甲”为事件
，则
，从而，由独立重复试验中事件
恰发生
次的

概率计算公式知，恰有2人把票投给歌手甲的概率为

（Ⅱ）ξ的所有可能值为：

………………………11分

综上知，ξ有分布列

ξ

 1 2 3



P





从而有

………………………12分

19．解法一（1）取
的中点
，连结
、
．

因为
∥
，
∥
，所以
∥
．

又因为
，
，所以

．

所以四边形
是平行四边形，
∥
……………………
分

在等腰
中，
是
的中点，所以
．

因为
平面
，
平面
，所以
．

而
，所以
平面
．

又因为
∥
，所以
平面
． ………………………
分

（2）因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
．

过点
作
于
，则
平面
，所以
．

过点