绝密★启用前 试卷类型：A

茂名市2015年第二次高考模拟考试

数学试卷（文科） 2015.4

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回.

参考公式：锥体的体积公式是：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.

第一部分 选择题（共50分）

选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、已知集合
，
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

2、复数
为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
的值为（ ）

A．1 B．3 C．10 D．55

4、已知向量
，
，若a∥b，则
等于（ ）

A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1）

5、若
满足不等式
, 则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

6、命题“
” 的否定是( )

A.
B.

C.
D.

7、已知平面
平面
，
，点
，作直线
，现给出下列四个判断：（1）
与
相交， （2）
， （3）
， （4）
. 则可能成立的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、如图所示,程序框图的输出结果是
，那么判断框中应

填入的关于
的判断条件是( )

A．
B．
C．
D．

9、已知抛物线
与双曲线
有相

同的焦点
，点
是两曲线的交点，
为坐标原点，若

，则双曲线的实轴长为( )

A．
B．
　　C．
D．

10、已知函数
的定义域为
，若
在
上为增函数，则称
为“一阶比增函数”；若
在
上为增函数，则称
为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.若函数
，且
，
，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）

（一）必做题（11～13题）

11、函数
的定义域为 .

12、函数
在点（1,1）处的切线方程为 .

13、在
中，角
所对的边分别为
，已知

，且
，则
= .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分.）

14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为

（
为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为 .

15、（几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的切线，切点为
，

点
在圆
上，
，
，则圆
的面积

为 .

三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分12分）

已知函数
的图象过点
.

（1）求
的值；

（2）设

求
的值.

17、（本小题满分12分）

某市为增强市民的环境保护意识,征召义

务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随

机抽取100名按年龄分组：第1组
，

第2组
，第3组
，第4组

，第5组
，得到的频率分

布直方图如图所示．

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18、（本小题满分14分）

右图为一简单组合体，其底面
为正

方形，
平面
，
，且

，
为线段
的中点.

（1）证明：
；

（2）求四棱锥
的体积.

19、（本小题满分14分）

已知数列
的前n项和为
，数列
的前n项和为
，且有
,点
在直线
上.

（1）求数列
的通项公式；

（2）求
;

（3）试比较
和
的大小,并加以证明.

20、（本小题满分14分）

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆
过点
，离心率为
，

（1）求椭圆
的方程；

（2）设直线
过椭圆
的右焦点
,且交椭圆
于
两点,是否存在实数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

21、（本小题满分14分）

设函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对任意
恒成立，求实数
的最小值；

（3）设
是函数
图象上任意不同的两点，线段
的中点为
，直线
的斜率为
. 证明：
.

茂名市2015年第二次高考模拟考试

数学试卷（文科）参考答案及评分标准

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

A

B

A

D

B

D

D



提示：9、
抛物线
与双曲线
有相同的焦点
点的坐标

为（1，0）

，

⊥
轴.设
点在第一象限，则
点坐标为（1,2）设左焦点为
,则
=2,由勾股定理得

,由双曲线的定义可知
.

10、因为
且
，即
在
是增函数，所以
.而
在
不是增函数，而
，所以当
是增函数时，有
，所以当
不是增函数时，有
.综上所述，可得
的取值范围是
.

二、填空题（本大题每小题5分，共20分）

11.
； 12.
； 13.
； 14.
； 15.

13.提示：由正弦定理得：
代入
，得到
即
代入余弦定理得：
，
，又因为
，
.

三、解答题（本大题共80分）

16. 解：（1）把
代入
得到
………………………1分

，
………………………………………4分

（2）由（1）知

∴
，……………7分

∵
，
………9分

∴

………………………………11分

………………………………………………12分

17、解：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为
……………………1分

第4组的人数为
…………………………………………2分

第5的人数为
………………………………………………3分

所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，

每组抽取的人数分别为：第3组：
第4组：

第5组：
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……5分

（2）记第3组的3名志愿者为
第4组的2名志愿者为
………………6分

则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：

，
，
，

，
，
，
，
，
共10种 ……9分

其中第4组的2名志愿者为
至少有一名志愿者被抽中的有：
，

，
，
，
，
，
共有7种 …11分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
……………………………12分

18、解：（1）连结
与
交于点
，则
为
的中

点，连结
， ∵
为线段
的中点，

∴
且
…………………3分

又
且

∴
且
∴四边形
为平行四边形， ……………………5分

∴
, 即
． …………………………………………………………6分

又∵
平面
,
面
, ∴
,

∵
, ∴
, …………………………………………………………7分

（2）∵
平面
，
平面
,

∴平面

平面
. …………………………………………………………9分

∵
，平面
平面
，
平面
，

∴
平面.
. ………………………………………………………………10分

∴
是四棱锥
的高. ……………………………………………………11分

∵
……………………………………12分

∴四棱锥
的体积
. ………14分

19. 解：（1）当
时,